Mundarija kirish I bob. Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini Jordan formasi yordamida topish

1.3.5-misol. Tenglamalar sistemasi umumiy yechimini toping.
,
Yechilishi. Tenglamalar sistemasiniing xarakteristik tenglamasini tuzamiz va ildizlarini topamiz.


⇒ λ²-2λ- λ³+2λ²+2λ-4=0, ⇒ λ³-3λ²+4=0
Ko’rish mumkinki, kubik tenglama bitta ildizi . Shuning uchun, tenglamadan ko’paytuvchi ajratamiz, u holatda:


Bundan ko’rinadiki, bu sistemasining ikkita xos qiymati mavjud:
karrali va karrali.
Xos vektorlarni topamiz. xos son uchun matritsa rangini hisoblaymiz:


Modomiki ekan, xos qiymatlar uchun unga bog’langan bitta xos vektorni topamiz.

deb olsak, u holatda:

Bulardan kelib chiqib, xos vektor teng:



Endi algebraik karralisi bo’lgan ikkinchi xos qiymat
ni qoyib, rangi va geometrik karralisini aniqlaymiz:

Bundan

Bunday holatda, matritsa ikkita xos vektorga ega (ya’ni bu 5-holatga mos tushadi). Agar , deb belgilasak, u holatda vektor koordinatalari quyidagi tenglamalarni qanoatlantiradi.

Erkin o’zgaruvchilar y, z koordinatalarini tanlab, ularni uchun (0, 1) va uchun (1, 0) ga tenglashtirib, quyidagi chiziqli erkli vektorlarni olamiz:

Umumiy yechimning barcha komponentlarini yig’ib, bir uni quyidagi shaklda ifodalashimiz mumkin.



1.3.6-misol. Tenglamalar sistemasi umumiy yechimini aniqlang.
,
Yechilishi. Tenglamalar sistemasining xarakteristik tenglamasini tuzamiz va ildizlarini topamiz.







Ko’rinib turibdiki, ikkita xos qiymat mavjud. karrali va karrali xos qiymatlar mavjud.
matritsa rangini hisoblaymiz:


.
Demak, va shunga mos ravishda xos qiymatning geometrik karralisi da quyidagicha:
.
Ko’rinib turibdiki, bu misol 6-holatga mos keladi, bu yerda Jordan formasi ikkita Jordan kataklaridan iborat bo’lib, ulardan biri xos vektor bilan, ikkinchisi bog’langan vektor bilan bog’langan. Avval xos vektorni topamiz, uning matritsaviy tenglamasi:
.
Tenglamaga ekvivalent sistemani qaraymiz:

deb olsak, u holatda

Bundan

Endi bog’langan vektorni qidiramz.
,
⇒
⇒ .
Berilgan tenglamalar sistemasini qanoatlantiradigan har qanday vektorni tanlashimiz mumkin. deb olamiz. U holatda qolgan koordinatalar:
.
Bundan. koordinatalari quytidagicha bo’ladi:
.
Endi xos qiymati ni ko’rib chiqaylik. Buning uchun
xos vektor teng:
,⇒
⇒
⇒ .
deb olsak, u holatda



Bundan xos vektor koordinatalari quyidagicha bo’ladi:

A matritsaning J Jordan formasiga o’tkazish formulasidan foydalanaib, xos vektor va bog’langan vektor to’g’ri topilganligini tekshiramiz:

bunda
H= .
H matritsa determinanti:
(H)=
Endi H matritsaning algebraik to’ldiruvchilaridan iborat B matritsani tuzamiz.

Bundan

B matritsani transponerlab, H ga teskari matritsani tuzamiz:

Endi formulani hisoblasak:
.
∽
=
= .
Jordan formasini tuzdik, uning o’z qiymatlari birinchi Jordan katagidagi diagonalda , ikkinchi Jordan katagida esa xos qiymatiga ega.
Tenglamalar sistemasi umumiy yechimi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

= .