Mundarija kirish I bob. Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini Jordan formasi yordamida topish

1.3.2-misol Tenglamalar sistemasi umumiy yechimini toping.

Yechilishi. Birinchi navbatda xarakteristik tenglamasini tuzish va tenglamani yechish orqali xos qiymatlarni aniqlaymiz.


Demak, tenglamalar sistemasi xarakteristik tenglamasi bitta karrali
xos qiymatga ega. xos qiymat uchun xos vektorni topamiz.



, .
Bundan kelib chiqadiki, bu holatda har qanday vektor xos vektor hisoblanadi. Shuning uchun, birlik vektorlarni chiziqli erkli xos vektorlar juftligi sifatida tanlashimiz mumkin.

Bu yerda 2- holatga duch kelamiz: differensial tenglamalar sistemasi ikkita bir xil xos qiymatga ega. Ularning algebraik va geometrik karralilari 2 ga teng.
Sistema uchun umumiy yechim quyidagicha bo’ladi:



1.3.3-misol. Tenglamalar sistemasini yeching.

Yechilishi. Tenglamalar sistemasi xarakteristik tenglmasini tuzamiz va ildizlarini topamiz.


Sistema xarakteristik matritsasi bitta algebraik karralisi bo’lgan xos qiymat topamiz va bu xos qiymat uchun xos vektorni topamiz. Xos vektor
bo’lsin. U holatda
, ⇒
.
bo’lsin. U holatda vektor koordinatasi:

Keling, xos vektorni to’g’ri hisoblaganimizni tekshirib ko’ramiz. Ta’rifga ko’ra, xos vektor quyidagi munosabatni qanoatlantirishi kerak.

.
Ma’lum lamshtirishlar orqali quyidagi tenglikka kelamiz:

Yuqoridagi almashtirishlar natijasida ( ) 3-holatga keladi, bunda yechim bitta Jordan katagi bilan tavsiflanadi. Umumiy yechimni topish uchun bog’langan vektor topish talab etiladi. Uning matritsa tengamasidan topamiz.

⇒
⇒ bundan yoki

Bog’langan vektorni to’g’ri topilganligiga ishonch hosil qilish uchun yana bir bor tekshiruv o’tkazamiz.
.
Bu yerda H matritsa topilgan vektorlardan tshkil topgan.

teskari matritsasi esa quyidagicha:

Bunda, matritsaning algebraik to’ldiruvchisi, det(H).
Oxirgi almashtirishlardan so’ng, Jordan shakli ekanigiga ishonch hosil qilamiz.




Tenglamalar sistemasi umumiy yechimini quyidagi foemula orqali hisoblaymiz: