Mundarija kirish I bob. Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini Jordan formasi yordamida topish

1.3.4-misol. Tenglamalar sistemasini yeching.
,
Yechilishi. Xarakteristik tenglamasini tuzamiz va ildizlarini topamiz.

Determinantni uchinchi qator bo’ylab yoyamiz:





Demak, xarakteristik matritsa uchta har xil xos qiymatga ega:
.
xos vektorlarni mos xos qiymatlari yordamida hisoblaymiz. λ₁=0 xos qiymat uchun ni topamiz:

Tenglamalar sistemasi rangini aniqlaymiz.
,

⇒

Bundan matritsa rangi 2 teng va xos qiymat geometrik karralisi esa 1 ga teng. Endi xos songa bog’langan ektorni qidiramiz, deb olsak, quyidagicha natijaga erishamiz:

Binobarin,

xos vektorni to’g’riligini xos qiymat ta’rifidan foydalanib tekshiramiz.
.
xos qiymat uchun ni topamiz:

Tenglamalar sistemasi rangini aniqlaymiz.
,
⇒
Demak, rank teng va xos qiymat geometrik karralisi ga teng. Endi xos songa bog’langan vektorni qidiramiz. olamiz va , larni t orqali ifodalaymiz:

Endi, xos vektorni tuzamiz.

xos vektorni to’g’riligini xos qiymat ta’rifidan foydalanib tekshiramiz.


λ₂V
Keyingi qadamda . xos qiymat unga bog’langan xos vektorni topamiz:

,
Ko’rinib turibdiki, rank =2. deb olamiz va , koordinatalarni topamiz.

bundan,

xos vektorni to’g’riligini xos qiymat ta’rifidan foydalanib tekshiramiz.
.
Demak, barcha xos vektorlar topildi. Endi, tenglamalar sistemasi umumiy yechimini quyidagicha holatda bo’ladi: