Mundarija kirish I bob. Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini Jordan formasi yordamida topish

1.3.7- misol. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping:
,
Yechilishi. Tenglamalar sisteamsi xarakteristik tenglamasini tuzamiz va xos qiymatlarini aniqlaymiz.







Tenglama karrali xos qiymatga ega ekanligiga erishamiz. matritsa rangini hisoblaymiz.

Matritsa rangi 1 ga teng. Endi xos qiymat uchun geometrik karralisini topamiz.
.
Bundan kelib chiqadiki, Jordan formasi ikkita Jordan katagidan iborat. Ya’ni, 7-holatga mos keladi.
xos qiymat uchun va xos vektorlar qidiramiz. vektor koordinatalarini ko’rinishda olamiz. Tenglamani yechamiz.

Biz ikkita koordinatalarni mustaqil tanlashimiz mumkin. Eng oddiy chiziqli erkli vektor juftligiga vektor uchun V₂ vektor uchun larni olamiz. Ushbu qiymatlarni oxirgi tenglamaga qo’yib, va xos vektorlarining x koordinatalarini topamiz.
, .
Bu yerda shuni yodda tutishimiz kerakki, bu sistema rangi 1 ga teng bo’lib, cheksiz xos vektorlar to’plami mavjud tekislikda yotgan ). Shu bila birga, topilgan va vektorlarni Jordan bazisiga kiritish shart emas.
2x2 Jordan katagini ko’rib chiqaylik. Shubhasiz, Jordan zanjiri bitta xos vektor va bitta bog’langan vektordan iborat. Bu vektorlarni va bilan belgilaymiz.bu vektorlar quyidagi matritsaviy tenglamani qanoatlantiradi:



Tekshirib ko’ramiz,
,

Shunday qilib, har qanday nolga teng bo’lmagan vektor operator yadrosiga tegishli , . matritsaning birinchi ustuni nolga teng bo’lmagani uchun bog’langan vektor sifatida Ox o’qining birlik vektorini olishimiz mumkin:

vektorni hisoblaymiz.
.
Topilgan vektorni operatorining yadrosiga tegishli ekanligini tekshiramiz, ya’ni, A matritsaning xos vektori:
=
Shunday qilib, 2x2 Jordan katakchasi bilan bog’langan ikkita va bazis vektorlarni aniqladik. Yana 1x1 elementar katakda yana bitta xos vektor mavjud bo’lib, u A matritsasining vektoriga kolinear bo’lmagan har qanday xos vektor sifatida qabul qilinishi mumkin. Masalan, yechim boshida topilgan vektorni olaylik.
Hisoblangan uchta chiziqli erkli vektor va Jordan bazisini tashkil qiladi. Tenglamalar sistemasi umumiy yechimi quyidagicha ko’rinishda bo’ladi.
=
=C₁e^t + C₂e^t + C₃e^t