Mundarija kirish I bob. Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini Jordan formasi yordamida topish

II Bob. Jordan matritsasi yordamida bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasini yechish.
2.1-§. Ikki noma’lumli tenglamalar sistemasini yechish.
2.1.1-misol. Tenglamalar sistemasini yeching

Yechilishi Tenglamalar sistemasining xarakteristik tenglamasini tuzamiz va xos qiymatlarini topamiz:

,
Demak, tenglamalar sistemasi xarakteristik tenglamasi bitta karrali xos qiymatga ega. xos qiymat uchun xos vektorni topamiz.

, .
Agar, deb olsak, u holda
boladi. Ya’ni,

Endi topilgan vektordan foydalanib, ektorni quyidagi formula orqali hisoblaymiz.


, .
Bundan, ekanligi kelib chiqadi.

Bu yerda 2- holatga duch kelamiz: differensial tenglamalar sistemasi ikkita bir xil xos qiymatga ega. Ularning algebraik va geometrik karralilari 2 ga teng.
Sistema uchun umumiy yechim quyidagicha bo’ladi:


.


2.1.2-misol. Tenglamalar sistemasi umumiy yechimini toping.

Yechilishi. Tenglamalar sistemasining xarakteristik tenglamasini tuzamiz va xos qiymatlarini topamiz:

Endi har bir xos son uchun xos vektorlarni topamiz
xos son uchun xos vektorni quyidagi formula orqali topamiz:


,
Ko’rinib turibdiki, matritsa rangi 1 ga teng. Shuning uchun, xos qiymatning geometrik karralisini hisoblaymiz.
.
Shunga ko’ra, ining bitta xos vektori mavjud va uning koordinatalari:
deb olsak u holda, bo’ladi. Ya’ni,
.
Endi, xos son uchun xos vektorni quyidagi formula orqali topamiz:




, ⇒
Agar deb olsak u holda, bo’ladi. Ya’ni,
.
Ko’rinib turibdiki, biz bu holatda oddiy xos qiymatlarga ega bolamiz.(1-holat) Tenglamalar sistemasi ummumiy yechimi quyidagicha ko’rinishda bo’ladi.

2.1.3-misol. Tenglamalar sistemasini yeching.

Yechilishi. Tenglamalar sistemasining xarakteristik tenglamasini tuzib xos qiymatlarni topamiz.


Ikkita va karrali xos sonlarga ega bo’lamiz bu xos qiymatlar uchun matritsa rangi va geometrik karralisi mos ravishda:


Endi xos qiymat mos ravishda a xos vektrolarni topamiz. xos son uchun xos vektor quyidagicha topiladi:



Agar deb olsak, u holda bo’ladi

Endi xos songa mos xos vektorni topamiz.





Agar deb olsak, u holda bo’ladi

Ko’rinib turibdiki, biz bu holatda oddiy xos qiymatlarga ega bolamiz.(1-holat) Tenglamalar sistemasi ummumiy yechimi quyidagicha ko’rinishda bo’ladi.
.