Mundarija kirish I bob. Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini Jordan formasi yordamida topish

2.2-§. Uch noma’lumli tenglamalar sistemasini yechish.
2.2.8-misol. Tenglamalar sistemasi umumiy yechimini toping

Yechilishi. Tenglamalar sistemasining xarakteristik tenglamasini tuzamiz va xos qiymatlarini topamiz:





Demak, biz ikki karrali xos songa va bir karrali xos sonlarga ega bo’lamiz. Endi har bir xos qiymat uchun mos xos vektorlarni topamiz:
xos vektor uchun matritsa rangini hisoblaymiz.

Modomiki ekan, xos qiymatlar uchun unga bog’langan bitta xos vektorni topamiz.

deb olsak, u holatda:


Bulardan kelib chiqib, xos vektor teng:

Endi xos son cuhun matritsa rangini aniqlaymiz.

Ko’rinib turibdiki, boladi. Bundan

bo’ladi, u holatda:
tenglikka asosan ixtiyori tanlashimiz mumkin. Bulardan kelib chiqib, v₂ xos vektor teng:

bu esa geometrik karralisi esa

Qolgan chiziqli erkli xos vektor bog’langan vektor orqali topiladi:
.




Bundan,

Tenglamalar sistemasi umumiy yechimi quyidagi formula bilan ifodalanadi:


=
=


2.2.9-misol.Tenglamalar sistemasini yeching.

Yechilishi. Sistemaning xarakteritik tenglamasini tuzib, xos qiymatlarni topamiz:




Uchta turli xil xos qiymatlarga ega bolamiz. Har bir xos son uchun matritsa rangi va geometrik karralasini hisoblaymiz va quyidagiyechimlarni olamiz:

Bundan kelib chiqib bu masala 4- holatga mos keladi. Endi har bir xos qiymat uchun xos vektorlarni topamiz:

Bundan

xos qiymat uchun xos vektor esa:



Bundan

xos son uchun xos vektor quyidagcha:



Bundan



Demak, barcha xos vektorlar topildi. Endi, tenglamalar sistemasi umumiy yechimini quyidagicha holatda bo’ladi: