Mundarija kirish I bob. Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini Jordan formasi yordamida topish

2.2.12-misol, Tenglamalar sistemasi umumiy yechimini toping.

Yechilishi. Tenglamalar sistemasini xarakteristik tenglamasini tuzamiz va xos sonlarni topamiz






Topilgan xos qiymatlar , , karrali bo’ladi. Xos sonlar uchun mos ravishda matritsa rangi va geometrik karralisini quyidagicha bo’ladi:



Demak, xarakteristik matritsa uchta har xil xos qiymatga ega:
, . xos vektorlarni mos xos qiymatlari yordamida hisoblaymiz. xos qiymat uchun xos vektorni topamiz:


Bu tenglamadan quyidagini hosil qilamiz
, deb olsak,

Endi, λ₂= 1 xos qiymat uchun xos vektorni topamiz:




Bu tenglamadan quyidagini hosil qilamiz
, deb olsak . esa ixtiyoriy ravishd atanlab olamiz

xos songa mos ravishda xos vektorni topamiz:


Bu tenglamadan quyidagini hosil qilamiz
deb olsak,

Demak, barcha xos vektorlar topildi. Endi, tenglamalar sistemasi umumiy yechimini quyidagicha holatda bo’ladi:



2.2.13-misol. Tenglamalar sistemasi umumiy yechimini toping.

Yechilishi. Tenglamalar sistemasini xarakteristik tenglamasini tuzamiz va xos sonlarni topamiz








Topilgan xos qiymatlar a , karrali bo’ladi. Xos sonlar uchun mos ravishda matritsa rangi va geometrik karralisini quyidagicha bo’ladi:


xos son uchun erkli xos vektorni quyidagi formula orqali topamiz.


Bundan, yuqoridagi tenglamadan kelib chiqadiki bo’ladi.

xos qiymat uchun erkli xos vektorini topamiz.




Bundan, yuqoridagi tenglamadan kelib chiqadiki, deb olsak, bo’ladi.

bog’langan vektorni esa yordamida hisoblaymiz.


Yuqoridagi tenglamadan

Ekanligini topamiz. Ya’ni,

Tenglamalar sistemasi umumiy yechimi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

.