Bog'liq Xos vektor va xos qiymatlar. Xarakteristik tenglama-fayllar.org
Xos vektor va xos qiymatlar. Xarakteristik tenglama
Xos vektor va xos qiymatlar. Xarakteristik tenglama.
maydon ustida berilgan vektor fazo bo`lsin. -bu fazoning chiziqli operatori bo`lsin.
maydon ustida berilgan vektor fazo bo`lsin. -bu fazoning chiziqli operatori bo`lsin.
TA`RIF. Agar vektor skalyar bilan vektor ko`paytmasiga teng bol`sa, vektor operatorning xos vektori deyiladi.
Agar nolmas vektor ko`paytmasiga teng bo`lib, tenglik o`rinli bo`lsa, skalyar operatorning xos qiymati deyiladi.
Agar vektor operatorning xos vektori bo`lsa tenglikni qanoatlantiruvchi skalyarga yagona bo`ladi. bo`lgani uchun tenglikdan kelib chiqadi. Shuning uchun bo`lsa, vektor xos qiymatga tegishli deyiladi.
Misol. V-nol bo`lmagan vektor fazo tanlangan skalyar bol`sin. ni deb tanlaylik. skalyar operatorning xos qiymati bo`ladi (yagona!) vektor xos qiymatga tegishli operatorning xos vektori deyiladi.
Misol. V-nol bo`lmagan vektor fazo tanlangan skalyar bol`sin. ni deb tanlaylik. skalyar operatorning xos qiymati bo`ladi (yagona!) vektor xos qiymatga tegishli operatorning xos vektori deyiladi.
TEOREMA. fazoning chiziqli operatori bo`lsin va bu operatorning xos vektorlari to`plami to`plam bilan ustma-ust tushadi.
TEOREMA. fazoning chiziqli operatori bo`lsin va bu operatorning xos vektorlari to`plami to`plam bilan ustma-ust tushadi.
Isboti. Yadroning ta`rifiga ko`ra,
Agar bo`lsa, u holda
Shunday qilib vektor operatorning xos vektori bo`ladi.
operatorning xos vektori bo`lsin, ya`ni bo`lsin, u holda
Demak,
maydon ustingi vektor fazo uning bazisi -bu fazoning chiziqli operatori, operatorning tanlangan bazisga ko`ra, matritsasi bo`lsin.
maydon ustingi vektor fazo uning bazisi -bu fazoning chiziqli operatori, operatorning tanlangan bazisga ko`ra, matritsasi bo`lsin.
operatorning ga tegishli xos vektorini toppish uchun ni torish kerak. bo`lsin uning (koordinatalari) tanlangan bazisdagi koordinatalar ustuni
bo`lsin
ga ko`ra, vektorning ustun koordinatalari
ga ko`ra, vektorning ustun koordinatalari
, ya`ni bo`ladi. bo`lishi uchun
(1)
bo`lishi zarur va etarli.
(1) ni chiziqli tenglamalar sistemasi quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:
(1) ni chiziqli tenglamalar sistemasi quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:
(2)
vektor operatorning xos vektori bo`lishi uchun uning satr koordinatalari (2) sistemaning nolmas echimi bo`lishi zarur va etarli. Shunday qilib quyidagi teoremani isbotladik:
TEOREMA. fazoning chiziqli operatori va operatorning tanlangan bazisga nisbatan matritsasi bo`lsin. vektorning operatorning ga tegishli xos vektori bo`lsin uchun vektorning koordinatalar satri (2) sistemaning nolmas echimi bo`lishi zarur va etarli.
maydon ustidagi arifmetik ustun vektorlarning o`lchovi fazasi bo`lsin. maydon ustidagi tartiblangan matritsa bo`lsin. akslantirishni qaraylik. chiziqli operator bo`ladi.
maydon ustidagi arifmetik ustun vektorlarning o`lchovi fazasi bo`lsin. maydon ustidagi tartiblangan matritsa bo`lsin. akslantirishni qaraylik. chiziqli operator bo`ladi.
TA`RIF. tartiblangan matritsa bo`lsin. Agar X-nol bo`lmagan vektor va AX ni skalyar va X vektor ko`paytmasi ko`rinishida, ya`ni ko`rinishida ifodalanish mumkin bo`lsa, X ustun vektor A matritsaning xos vektori deyiladi. Bunda matritsaning xos qiymati deyiladi.
TEOREMA. maydon ustuni matritsa bo`lsin. element matritsaning xos qiymatu bo`lishi uchun
TEOREMA. maydon ustuni matritsa bo`lsin. element matritsaning xos qiymatu bo`lishi uchun
bo`lishi zarur va etarli.
ISBOTI. element matritsaning xos qiymati bo`lishi uchun ustun vektor mavjud bo`lishi kerakki,
bo`lishi zarur va etarli. Boshqacha aytganda
(3)
tenglama nolmas echimga ega bo`lishi kerak.
(3) ni ta noma`lumli chiziqli tenglamalar sistemasining matritsaviy ko`rinishi deyish mumkin. Bu tenglama esa echimga ega bo`lishi uchun matritsa determinant nolga teng bo`lishi zarur va etarli.
Natija. element matritsaning xos qiymati bo`lishi uchun teskarilanmaydigan bo`lishi zarur va etarli.
Natija. element matritsaning xos qiymati bo`lishi uchun teskarilanmaydigan bo`lishi zarur va etarli.
TA`RIF. tartiblangan matritsa bo`lsin. tenglama matritsaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
Natija. skalyar A matritsaning xos qiymati bo`lishi uchun bu matritsa xarakteristik tenglamasining ildizi bo`lishi zarur va etarli.
