Mundarija kirish I bob. Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini Jordan formasi yordamida topish

1.3.8-misol. Tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping
,
Yechilishi. Tenglamlar sistemasining xarakteristik tenglamasini tuzamiz va ildizlarini topamiz.






Demak, A matritsaning algebraik karralisi teng bolgan
xos qiymatini topamiz.
Quyidagi matritsaning rangini topamiz:


∽
Ko’rinib turibdiki, xos qiymat uchun geometrik esa:
.
Demak berilgan misol 8- holatga mos keladi, bundan, 3x3 Jordan katagini olamiz.
Tegishli Jordan zanjiri esa bitta xos vektor va ikkita , bog’langan vektorlardan iborat bo’ladi. Bu vektorlar uchun, quyidagi Jordan bazisi ifodalovchi tengliklar o’rinli bo’ladi.
.
Ishonch hosil qilamizki,




Shunday qilib,

operator bazisi butun fazoga to’g’ri keladi. Shuning uchun biz ixtiyoriy ravishda olingan nolga teng bo’lmagan V₃ vektor Jordan zanjirini hosil qiladi. Masalan, birlik vektorni olaylik va bu vektorning tegishli emasligiga ishonch hosil qilamiz:

Endi munosabatlar zanjiridan , orqali hisoblaymiz:

Bizning maqsadimiz nolga teng bo’lmagan vektorni topish va Jordan bazisini qurishdir. Agar 0 bo’lsa, u holatda ektor sifatida yoki birlik vektorlarni qabul qilishimiz mumkin. Bundan biz uchta variantdan birida nolga teng bo’lmagan vektorni olishimiz kerak. operatorning bazisi butun fazo bilan mos kelmaydi va shuning uchun uchta chiziqli erkli vektorga ega bo’la olmaydi.
Hisoblashni davom ettiramiz, va vektorlarni topamiz.

.
Shunday qilib, bu vektorlardan iborat Jordan bazisi quyidagicha:

Keling, A matritsaning Jordan formasi J ga aylantirish formulaasidan foydalanib tekshiramiz.

H matritsa , , bazis vektorlardan iborat.
,
teskari matritsasi esa quyidagiga teng:
,
Matritsalarni tenglamaga qo’yib quyidagiga erishamiz:




Natijada biz Jordan formasida bitta 3x3 Jordan katagini topamiz.
Tenglamalar sistemasi umumiy yechimi esa quyidagi ko’rinishda bo’ladi:



=C₁e^-3t .