Mundarija kirish I bob. Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini Jordan formasi yordamida topish

I Bob. Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini Jordan formasi yordamida topish

O’zgarmas koeffisientli n- tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar ko’rib chiqaylik.

Bunda
, .
Bunday sistemaning umumiy yechimlar sistemasi n ta chiziqli funksiyani o’z ichiga olishi kerak. Xos sonlar va xos vektorlar usulidan foydalangan holatda yechimni topishda ko’p holatlarda xos vektorlar soni n dan kam ekanligi ma’lum bo’ladi. Ya’ni, shunday sistemalar borki, ular uchun faqat xos vektorlardan iborat bazis mavjud emas. Bunday holatda yechimni boshqa usul bilan, masalan, aniqmas koeffisiyentlar usuli yordamida topish mumkin. Biroq, umumiy yechimni topishning umumiyroq va isbotlangan usuli mavjud. Bu har qanday kvadrat matritsani Jordan normal formasi deb ataladigan formaga keltirish usulidir. (umuman olganda, bu kompleks maydonga to’g’ri keladi.) Matritsaning Jordan formasini va Jordan bazisini bilgan holatda, tenglamalarning sistemasining umumiy yechimini korsatish mumkin.
Ushbu yechim yo’lini batafsil ko’rib chiqaylik. Buning uchun oldin ba’zi asosiy ta’riflarni keltiramiz.
1.1-§. Matritsaning Jordan formasi.
Jordan formasi kvadrat matritsa bosh diagonali orqali ifodalaniladi. Matritsa bosh diagonali bo’ylab esa Jordan katagi deb ataluvchi matritsa joylashgan bo’lib, xos sonlari bilan mos tushadi. Bosh diagonaldagi λ_i lar mos ravishda Jordan kataglaridan iborat bo’lib, kataklar joylashishi λ_i lar bog’liq emas. Quyida Jordan matrisa umumiy ko’rinishini ko’rishimiz mumkin.
.
Matritsada 3 xil Jordan kataklariga mos keladigan matritsa elementlari turli xil rangda ko’rsatilgan. Bundan tashqari bu matritsada matritsaning xos qiymatlari bosh diagonalda bo’ladi va har bir xos qiymat ning algebraik ko’phadi marta uchraydi. 1 dan katta har bir Jordan katagi mavjud bosh diagonal ustidagi parallel qator birlardan iborat bo’lib, Jordan matritsasining boshqa barcha elementlari nolga teng. Jordan kataklarining matritsada joylashish tartibi aniq belgilanganmagan.