Mavzu: Ixtiyoriy matrisani Jordan matrisasiga keltirish

Mavzu: Ixtiyoriy matrisani Jordan matrisasiga keltirish.

-matrisani jordan normal korinishga keltirish. Endi biz ushbu teoremani isbotlaymiz.

3-teorema. C maydon ustidagi har qanday А matrisa birоr jordan matrisasiga o’xshash. Bu Jordan matrisasi A orqali Jordan kataklarining joylashish ornigacha aniqlik bilan topiladi. (Bu Jordan matrisalarining har biri A matrisaning Jordan normal formasi deb ataladi).

Isboti. berilgan bolsin. Unga oxshash bolgan Jordan matrisasi ni tuzamiz. Ilgari isbotlanganiga asosan va ning oxshashligi- va matrisalarning ekvivalentligiga teng kuchli.

ning xarakteristik kophadi ni qaraymiz. U ta kompleks ildizga ega (ildizlarni karraligi bilan hisoblanganda) sonlar ( )ning turli ildizlari, sonlar bu ildizlarning karralik soni bo’lsin. U holda

va

Bundan matrisaning rangi uning tartibiga teng ekanligi kelib chiqadi.

lar matrisaning invariant kopaytuvchilari bo’lsin. U holda

bo’ladi. Bundan

ekanligi kelib chiqadi. Agar bu ifodada biror ko’paytuvchi qatnashmasa deb hisoblaymiz. Bunga asosan ning elementar bo’luvchilari (6) ko’rinishga ega. 2-teorema natijasiga asosan elementar bo’luvchilari (6) jadval ko’rinishiga ega bolgan –jordan matrisasi mavjud. Bundan esa va matrisalarning o’xshash ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.

Isbotlangan teoremadan quyidagi xulosaga kelamiz. Chekli o’lchamli chiziqli fazoda har qanday chiziqli operator uchun shunday bazis mavjudki bu bazisda uning matrisasi jordan matrisasidir. (ba’zan bu bazis berilgan chiziqli operatorning Jordan bazisi deb ham ataladi) isbotlangan teoremadan chiziqli operatorning diogonallashuvchiligining zaruriy va yetarli sharti oson chiqariladi.

Jordan kataklari bilan elementar bo’luvchilar orasidagi moslikga muvofiq chiziqli operatorning diogonallashuvchi bo’lishi uning barcha elementar bo’luvchilarining 1-tartibli ekanligiga teng kuchli. Bu oxirgi shart esa o’z navbatida eng keyingi invariant ko’paytuvchining karrali ildizlari yo’qligiga teng kuchli. Shunday qilib, chiziqli operatorning diogonallashuvchi bo’lishligi uchun uning eng keyingi invariant ko’paytuvchisining karrali ildizlarga ega bo’lmasligi zarur va yetarli. F maydonda det ( ) xarakteristik ko’phad chiziqli ko’paytuvchilarga ajralsa, teoremaning bunday maydon va chiziqli operator uchun o’rinli bo’lishi isbotdan bevosita kelib chiqadi. Aksincha, maydon ustidagi matrisa shu maydon ustidagi biror J–jordan matrisasiga o’xshash bo’lsin. U holda , matrisalarning invariant ko’paytuvchilari bir hil, demak ko’phad ham chiziqli ko’paytuvchilarga ajraladi.Shunday qilib quyidagi teoremani isbotladik;

4-teorema. G’ maydon ustidagi chekli o’lchamli chiziqli fazodagi chiziqli operatorning Jordan bazisi mavjud bo’lishi uchun uning xarakteristik ko’phadi – G’ maydon ustida chiziqli ko’paytuvchilarga ajralishi zarur va yetarlidir.

Misollar. 1) matrisaga o’xshash Jordan matrisasini topaylik.

Xarakteristik ko’phadni qaraymiz;

.

Buning invariant ko’paytuvchilari

va

ya'ni .

Dеmak,

Shunday qilib elеmеntar bo`luvchilar: va . Ularga mos jordan kataklari (3) va . Isbotlanayotgan jordan matritsasi dan iborat ekan.

2) matritsaga o`xshash jordan normal matritsasini toping.

.
Bundan ,

Invariant ko`paytuvchilar

, va larga mos Jordan katakchalari.

va (-2)