Mundarija kirish I bob. Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini Jordan formasi yordamida topish

7-holat 3x3 matritsa. Bitta xos qiymat
Bu holatda Jordan formasi bir xil xos qiymatga ega bo’lgan ikkita Jordan katagidan iborat. Birinchi Jordan katagida bitta xos vektor va bitta bog’langan vektor iborat va ular quyidagicha topiladi:


Birinchi tenglamada ikkita xos vektor ko’rinishidagi ikkita yechimga ega (chunki rank . Ikkinchi Jordan katagi esa xos vektor orqali ifodalaydi.
Tenglamalar sistemasi umumiy yechimi esa quyidagicha bo’ladi:
.
Birinchi Jordan katagi ikkinchi Jordan katagi
8-holat 3x3 matritsa. Bitta xos qiymat
Bu holatda chiziqli operator A karrali bitta xos qiymatga ega.
matritsa rangi esa 2 ga teng. Bundan quyidagi tanglamaga kelamiz:

Yagona xos vektor ko’rinishdagi yechimga ega. Qolgan ikkita chiziqli erkli vektor Jordan zanjiridan bog’langan vektorlar sifatida aniqlanadi.
.
Umumiy yechim esa quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

Quyida 1-8 holatlarga mos keladigan tenglamalar sistemasiga misollarni ko’rib chiqamiz. Xos vektorning “yetarli” bo’lgan 1, 2, 3, 4, 5 holatlarda hamda, “xos qiymat va xos vektorlar” usulini ham ko’rib chiqamiz.

1.3.1-misol. Tenglamalar sistemasini yeching.

Yechilishi. Tenglamalar sistemasining xarakteristik tenglamasini tuzamiz va xos qiymatlarini topamiz:
,
.
Endi har bir xos qiymat uchun xos vektorlarni topamiz.
Xarakteristik matritsadagi λ ni almashtirib, :
,

Ko’rinib turibdiki, bu matritsa rangi birga teng. Shuning uchun, xos qiymatning geometrik karralisini hisoblaymiz.

Shunga ko’ra, ining bitta xos vektori mavjud va uning koordinatalari:

Xuddi shu tartibda xos vektorni xos qiymat uchun hisoblaymiz.
,

bo’lsin, u holatda

Ko’rinib turibdiki, biz bu holatda oddiy xos qiymatlarga ega bolamiz.
(1-holat) Tenglamalar sistemasi ummumiy yechimi quyidagicha ko’rinishda bo’ladi.
.