Mundarija kirish I bob. Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini Jordan formasi yordamida topish

2.2.10-misol. Tenglamalar sistemasini yeching.

Yechilishi. Tenglamalar sistemasini xarakteristik tenglamasini tuzamiz va xos sonlarni topamiz.



xos son karrali xos songa ega bo’lamiz.
Xos son uchun matritsa rangi hamda geometrik karralisini hisoblaymiz.

Demak berilgan misol 8- holatga mos keladi, bundan, 3x3 Jordan katagini olamiz.
Tegishli Jordan zanjiri esa bitta xos vektor va ikkita , bog’langan vektorlardan iborat bo’ladi. Bu vektorlar uchun, quyidagi Jordan bazisi ifodalovchi tengliklar o’rinli bo’ladi.
.


Agar deb olsak u holda:

bog’langan vektorni erkli xos vektor orqali topamiz.


Bu sistemada, agar, desak u holda, bo’ladi.
Ya’ni,

Endi, bog’langan vektorni ham hisoblaymiz.

Bu sistemada, agar, desak u holda, bo’ladi.

Ya’ni,

Tenglamalar sistemasi umumiy yechimi esa quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
=




2.2.11-misol. Tenglamalar sistemasi umumiy yechimini toping.

Yechilishi. Tenglamalar sistemasini xarakteristik tenglamasini tuzamiz va xos sonlarni topamiz.




Xarakteristik tenglamadan karrali hamda
karrali xos qiymatlarga ega bo’lamiz. Mos ravishda, har bir xos qiymat uchun Matritsa rangi va geometrik karralisi quyidaicha bo’ladi.


xos son uchun xos vektorni quyidagi formula orqali topamiz:



Agar deb olsak u holda:

Endi, xos son uchun xos vektor hamda bog’langan vektorlarni topamiz.



Agar deb olsak u holda hamda ekanligi kelib chiqadi. Bundan,



bog’langan vektorni esa quyidagi fomula orqali hisoblaymiz.


.


Yuqoridagi sistemadan deb olsak, bo’ladi
Bundan,

Tenglamalar sistemasi umumiy yechimi quyidagi formula bilan ifodalanadi:
=
= + .