Mundarija kirish I bob. Differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini Jordan formasi yordamida topish

1.2-§. Xos vektorlar va Jordan zanjiri
Xos qiymati λ bo’lgan k o’lchamdagi Jordan katakchasini ko’rib chiqaylik.
Bunda Jordan katagi bazis vektorlari .
ektorlar xos vektor bo’lib, ular mos matritsalarni qanoatlantiradi.

Yuqoridagi tenglamadan esa ekanligi kelib chiqadi.

Yuqoridagi vektor esa birinchi tartibli bog’langan vektor deyiladi. Xuddi shunday yuqori tartibli boshqa bog’langan vektorlarini topamiz.

....................

Bu munosabatlardan quyidagilarga ega bo’lamiz:
va
Bu tengliklardan esa quyidagiga kelamiz:

Shuningdek, k-tartibli bog’langan vektorlar uchun esa



xos vektor va , bog’langan vektorlardan tashkil topgan , , ... vektorlar zanjiri chiziqli erkli bo’lib, Jordan zanjiri deyiladi.
k- tartibli har bir Jordan zanjiri mos bir jinsli tenglamalar sistemasining
k- tartibli chiziqli erkli yechimlariga mos keladi.



..........

Barcha yechimlarning umumiy soni barcha Jordan kataklari uchun Jordan zanjirlari uzunligi yig’indisiga teng. Ya’ni n matritsa tartibiga tengdir. Bunday chiziqli erkli vektor funksiyalar to’plami Fundamental yechimlar sistemasini tashkil qiladi
2 x 2 va 3 x 3 matritsalar uchun sistema umumiy yechimlarini qaraymiz.
Amalda 2 va 3- tartibli differensial tenglamalar sistemasi ko’p uchraydi. shuning uchun, bunday sistemalarda yuzaga kelishi mumkin bo’lgan Jordan formalarining barcha ko’rinishlarini va ularga mos keladigan umumiy yechim formulalarini ko’rib chiqamiz. Jami 8 ta turli holat mavjud (2x2 matritsa uchun 3 ta 3x3 matritsa uchun 5 ta ). Ushbu formulalarni quyidagi jadval orqali qulay ko’rsatish mumkin.

#	Matritsa tartibi	Matritsaning xarakteristik ko’phadi		Algebraik (k) Geometrik (s) karralilari			Jordan formasi
1	n=2			=1 s1=1 λ2 k2=1 s2=1
2	n=2			λ1 k1=2 s1=2
3	n=2			λ1 k1=2 s1=1
4	n=3			λ1 k1=1 s1=1 λ2 k2=1 s2=1 λ3 k3=1 s3=1
5	n=3		λ1 k1=2 s1=2 λ2 k2=1 s2=1
6	n=3		λ1 k1=2 s1=1 λ2 k2=1 s2=1
7	n=3		λ1 k1=3 s1=2
8	n=3		λ1 k1=3 s1=1

1.3-§. Xos vektor va mos yechimlarni topish
Yuqorida jadvalda ko’rib o’tgan holatlardan foydalangan holatda xos vektor va bog’langan vektorlarni topish usuli hamda, umumiy yechimlarni topish usullarini ko’rib chiqamiz:
1-holat 2x2 matritsa, ikki xil xos qiymatlar
Bu holatda Jordan formasi oddiy diagonal shaklda bo’lib, bunda har bir xos qiymat faqat bitta xos vektor ga mos keladi, matritsaviy tenglamasi esa quyidagicha bo’ladi:



Umumiy yechim esa quyidagi formula bilan aniqlanadi:

2-holat 2x2 matritsa. Bitta xos qiymat
Bu tuerdagi matritsalar 2 karrali bitta xos qiymatga ega. λ₁ xos qiymat uchun matritsa rangi 0 ga teng. Shuning uchun geometrik karralisi quyidagicha topiladi:

matritsaviy tenglamasi esa

Bu tenglamadan ikkita chiziqli erkli va xos vektorlarni topamiz.
Tenglamalar sistemasi umumiy yechimi esa 1- holatdagi bilan deyarli bir xil ko’rinishga ega bo’ladi:

3-holat 2x2 matritsa, bitta xos qiymat Bu holatda matritsa rangi 1 ga teng. Demak, geometrik karralisi xos qiymat λ₁ va xos vektorga bog’liq bo’lib, quyidagicha aniqlanadi:

xos vektor quyidagi tenglama orqali topiladi:

Tenglamalar sistemasi umumiy yechimini topish uchun yana bitta chiziqli erkli xos vektor lozim. Bu vektor sifatida biz bog’langan
ektorni olamiz va bu vektor quyidagi tenglama orqali topiladi:

Topilgan xos vektor va bog’langan vektordan quyidagi H matritsani tuzamiz

U holatda quyidagi munsabatdan Jordan formasini J topish mumkin:
J
Bunda —matritsa, H matritsaning teskari matritsasi, bu tenglama orqali xos vektor va bog’langan vektorlarni to’g’ri hisoblanganligini tekshirishimiz mumkin.
Tenglamalar sistemasi umumiy yechimi esa quyidagicha bo’ladi:

4-holat 3x3 matritsa. Uchta xos qiymati mavjud.
Jordan formasi diagonal ko’rinishda bo’ladi. Har bir xos qiymat o’zining xos vektorga mos keladi. Va quyidagi tenglama orqali hisoblanadi:

3 o’zgaruvchili differensial tenglamalar sistemasi yechimi:
.
5-holat 3x3 matritsa. Ikkita xos qiymat
Bu holatda xarakteristik tenglama ikkita ildizga ega, ulardan biri karrali ( ). Bu karrali ildizini rangi 1 ga teng bo’lgan matritsaga almashtiramiz. Buning natijasida xos qiymat geometrik karralisi va unga bog’langan xos vektorlar soni

va chiziqli erkli xususiy vektorlar (bular ikkita Jordan katagiga to’g’ri keladi) tenglamadan hisoblanadi.

Jordan formasidagi uchinchi katak karrali bo’lmagan xos qiymat
a bu xos qiymat uchun xos vektor quyidagi tenglamadan topiladi:

Bu holat uchun tenglamalar sistemasi umumiy yechimi:



.
6-holat 3x3 matritsa. Ikkita xos qiymat
. Bu holat oldingisidan farq qiladi, chunki birinchi xos qiymat uchun faqat bitta xos vektor mos keladi, quyidagi tenglamani qanoatlantiradi.

Bundan xos son uchun matritsa rangi 2 ga teng:
.
Qolgan chiziqli erkli xos vektor bog’langan vektor orqali topiladi:

Qolgan xos qiymat (ikkinchi Jordan katagiga to’g’ri keladi) yuqoridagidek tenglama orqali xos vektorni ifodalaydi.
Tenglamalar sistemasi umumiy yechimi esa:
.
Birinchi Jordan katagi ikkinchi Jordan katagi