Ikkinchi tur egri chiziqli integralar 1

15.2- .Ikkinchi tur egri chiziqli integralar

1. Egri chiziqli integrallarning yana boshqa xili egri chiziq bo’yicha harakatdagi nuqtaga ta’sir qiluvchi kuch bajarayotgan mexanik ish ta’rifi bilan bog’liqdir. Avval kuchni o’zgarmas deylik . Agar harakat to’g’ri chiziq bo’yicha ro’y berayotgan bo’lib, boshlang’ich va oxirgi nuqtalarni tutashtiruvchi vektorni deb belgilasak, u holda ish

skalyar ko’paytmaga teng bo’ladi.

Endi, faraz qilaylik, o’zgaruvchi kuch ta’sirida qaralaytgan nuqta egri chiziq bo’ylab nuqtadan nuqtagacha harakatlansin . Bu kuch bajargan ishini topish maqsadida, odatdagidek va deb, egri chiziqni nuqtalar yordamida qismiy yoylarga bo’lamiz. Hosil bo’lgan bo’linish diametrini shunchalik kichik qilib tanlaylikki, bunda qismiy yoylarni tahminan kesma deb va kuchni esa, bu yoylarda o’zgarmas deb hisoblash mumkin bo’lsin.

Fazoning va nuqtalarni tutashtiruvchi vektorni orqali belgilaylik, ya’ni

kuchning nuqtadan nuqtagacha bajargan ishini tahminan

skalyar ko’paytmaga teng deyish mumkin, bunda nuqta qismiy yoyning istalgan nuqtasidir. Bundan chiqdi, dan to gacha bajarilgan to’la ish tahminan quyidagi

integral yig’indiga teng.

Agar da (15.2.2) integral yig’indilar limiti mavjud bo’lsa, u holda bu limit vektor – funksiyadan egri chiziq bo’yicha olingan ikkinchi tur egri chiziqli integral deyiladi va

kabi belgilanadi.

Birinchi tur egri chiziqli integralning ikkinchi tur egri chiziqli integrallardan asosiy farqi shundaki, ikkinchi tur integral integrallana-yotgan egri chiziqda o’rnatilgan yo’nalishga bog’liqdir. Boshqacha aytganda, birinchi tur integral uchun

tenglik o’rinli bo’lsa, ikkinchi tur integral uchun esa,

tenglik o’rinli.

Bu tengliklarning fizik ma’nosi tushunarli: bukilgan o’zakning massasini o’lchash bu o’zakning yo’nalishiga bog’liq emas, ammo biror masofada bajarilgan ishni hisoblashda harakat yo’nalishiga qarab quvvat ortishi yoki kamayishi mumkin.

Navbatdagi bunda biz birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni bog’lovchi matematik munosabatlarni o’rnatamiz. Bunda biz fazosi nuqtalari koordinatalarini ko’rinishda belgilaymiz.

2. Faraz qilaylik, kuch vektori quyidagi

komponentalarga va vektor esa,

komponentalarga ega bo’lsin.

Bunda (15.2.1) skalyar ko’paytma

ko’rinishda yoziladi.

Shunday ekan, (15.2.2) integral yig’indini, har bir komponentaga mos keluvchi, uchta integral yig’indiga ajratish mumkin:

bu yerda

deb belgilangan.

Biz har bir (15.2.4)-(15.2.6) integral yig’indini bo’linishning diametri nolga intilganda limitga ega bo’lsin deb faraz qilamiz. Bu limitlar ham ikkinchi tur egri chiziqli integral deb ataladi va quyidagi

ko’rinishda belgilanadi.

Shunday qilib, (15.2.3) ikkinchi tur egri chiziqli integralni koordi-

natalar bo’yicha

(15.2.10)

deb yozish mumkin.

E’tibor bering, xuddi birinchi tur egri chiziqli integral singari, (15.2.3) ikkinchi tur egri chiziqli integral, va demak (15.2.10) yig’indi ham, dekart koordinata sistemasini parallel ko’chirish va burishda o’z qiymatini saqlaydi.Lekin, shunga qaramasdan, har bir (15.2.7)-(15.2.9) ko’rinishdagi ikkinchi tur egri chiziqli integral, ravshanki, koordinata sistemasini tanlanishiga bog’liqdir.

Agar egri chiziq biror koordinata o’qiga perpindikulyar bo’lgan tekislikda yotsa, u holda bu o’qqa mos (15.2.7)-(15.2.9) ko’rinishdagi egri chiziqli integral nolga aylanadi. Masalan, agar egri chiziq tekislikda yotsa, u holda barcha larda bo’lgani sababli, (15.2.6) integral yig’indida hamma hadlar nolga teng. Shuning uchun, integral yig’indilarining limiti ham, ya’ni (15.2.9) integral ham nolga teng.

3. Berilgan va nuqtalarni tutashtiruvchi uzluksiz sodda (ya’ni o’zini o’zi kesmaydigan) fazoviy egri chiziqni qaraylik. Bu egri chiziqni deb ham belgilaymiz. Faraz qilaylik, bu egri chiziq

ko’rinishda tabiiy parametrlashtirilgan bo’lib, parametr yoyning nuqtadan boshlab o’lchalgan uzunligi bo’lsin. Agar nuqta bu egri chiziq bo’ylab harakatlanayotganda parameter o’ssa , u holda nuqtani dan ga qarab harakatlanyapti deb hisoblaymiz.Bunda egri chiziqda yo’nalish o’rnatilgan (yoki egri chiziq orientirlangan) deymiz. Ravshanki, xuddi shu egri chiziqni yoy uzunligini nuqtadan boshlab o’lchab, teskari yo’nalishda ham orientirlash mumkin. Boshqacha aytganda, va egri chiziqlar o’zaro qarama-qarshi yo’nalishlarda orientirlangan.

silliq egri chiziqning, chetki nuqtasidan farqli, har qanday nuqtasida quyidagi ko’rinishda aniqlangan (‘’tau’’ deb o’qiladi) urinma vektorni kiritish mumkin. Aytaylik, nuqtani egri chiziq bo’ylab ga qarab siljitish natijasida u biror nuqtaga o’tsin. nuqtadan nuqtaga yo’naltirilgan birlik vektorni qaraymiz. Ravshanki, bu vektor

ko’rinishga ega.

Agar nuqta ga intilganda birlik vektor biror vektorga intilsa, ana shu limit vektorni egri chiziqqa nuqtada o’tkazilgan urinma deb ataymiz.

Bunday ta’rifdan ko’rinib turibdiki, urunma vektor egri chiziqning shakli va unda o’rnatilgan yo’nalish orqali aniqlanib, egri chiziqning qanday parametrlashtirilganiga bog’liq emas.

4.Aytaylik, silliq egri chiziqning, undagi yo’nalishni saqlovchi va

ko’rinishga ega bo’lgan, ixtiyoriy parametrlashtirilishi berilgan bo’lsin.

Bu degani, parametr oshgan sari nuqta bilan nuqtani tu-tashtiruvchi yoy uzunligi ham oshib borsin.

Eslatib o’tamiz, biz parametrik ko’rinishda berigan va maxsus nuqtaga ega bo’lmagan silliq egri chiziqlarni qaraymiz, ya’ni butun kesmada deb faraz qilamiz.

Agar silliq egri chiziq maxsus nuqtaga ega bo’lmasa, u holda kesmada



tengsizlik bajariladi.