13. 1-mavzu. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari Dars rejasi

XIII. Kompleks o`zgaruvchili funksiyalar
13.1-mavzu.Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari

Dars rejasi:

1. 
   Kompleks o’zgaruvchili funksiya hosilasi.
   
2. 
   Analitik funksiya tushunchasi.
   
3. 
   Kompleks o’zgaruvchili funksiya differensiali.
   
4. 
   Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari. Koshi – Riman sharti.
   

Mavzu bo’yicha adabiyotlar: [1], [5], [6]

Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: kompleks o’zgaruvchili funksiya hosilasi, sohada analitik funksiya, nuqtada analitik funksiya, kompleks o’zgaruvchili funksiya differensiali, erkli o’zgaruvchi differensiali, hosila mavjudligining zaruriy sharti, hosila mavjudligining yetarli shartlari.


13.1.Kompleks o’zgaruvchili funksiya hosilasi tushunchasi. Faraz qilaylik, bizga biror sohada bir qiymatli kompleks o’zgaruvchili funksiya berilgan bo’lsin. nuqtani qayd qilib, unga orttirma beramiz. Buning natijasida funksiya

orttirma oladi. Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatan olamiz:
(13.1)
13.1-Ta’rif. Agar ning nolga qanday intilishidan qat’iy nazar (13.1) nisbat biror aniq chekli songa intilsa, u holda funksiya nuqtada differensiallanuvchi deyilib, shu limitning qiymatiga funksiyaning nuqtadagi hosilasi deb ataladi va u kabi belgilanadi, ya’ni
. (13.2)


13.2. Analitik funksiya tushunchasi.
13.2-Ta’rif. Agar funksiya biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda u shu nuqtada monogen deb aytiladi.
Agar funksiya biror sohada bir qiymatli bo’lib, uning har bir nuqtasida monogen bo’lsa, u holda bu funksiya sohada analitik deb aytiladi.
Kelgusida bir qiymatli analitik funksiyani golomorf yoki regulyar deb ham aytamiz.
13.2-Ta’rifga muvofiq, biror sohaning har bir nuqtasida differensiallanuvchi funksiya shu sohada analitik deyiladi. Bu holda funksiya sohaning har bir nuqtasida ham analitik deyiladi. Ya’ni funksiyaning biror nuqtada analitik bo’lishi uchun uning shu nuqtaning biror atrofida differensiallanuvchi bo’lishi talab qilinar ekan.
Kompleks o’zgaruvchili funksiya hosilasi ta’rifi shakl jihatdan haqiqiy o’zgaruvchili funksiya hosilasi ta’rifidan farq qilmaydi. Shuning uchun haqiqiy funksiyalarning barcha differensiallash qoidalari kompleks funksiyalar uchun ham o’rinli. Kompleks o’zgaruvchili funksiya differensiallanuvchan bo’lishi talabi haqiqiy ma’nodagi differensiallanuvchanlikdan keskin farq qilib, juda katta talabdan iboratdir. Shuning uchun ham sohada analitik funksiyalar o’ziga xos ajoyib xossalarga ega bo’lib, bunday xossalarga haqiqiy differensiallanuvchi funksiyalar ega bo’la olmaydi. Bu xossalarni biz kelgusida o’rganamiz.
13.1-misol. funksiyani aniqlanish sohasida analitiklikka tekshiring.