13. 1-mavzu. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari Dars rejasi

1.Analitik funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari qo’shma garmonik funksiyalar sifatida. Faraz qilaylik, bizga biror sohada bir qiymatli va analitik funksiya berilgan bo’lsin. Kelgusida isbot qilamizki, agar funksiya sohada differensiallanuvchi bo’lsa, u shu sohada ixtiyoriy tartibli uzluksiz hosilalarga ega. Bu kompleks funksiyalarning ajoyib xususiyatlaridan biridir. Shu jumladan, funksiyaning haqiqiy va mavhum qismidan iborat va funksiyalarning itiyoriy tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega ekanligi ham kelib chiqadi. Xususan, va funksiyalar barcha ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’ladi. Bundan tashqari ular o’tgan mavzuda isbotlangan Koshi-Riman shartlarini ham qanoatlantiradi
(10.1)
Agar bu tenglikning 1-shartini bo’yicha, 2-sini bo’yicha differensiallab, natijalarni qo’shib, keyin esa turli tartibda olingan ikkinchi tartibli xususiy hosilalarning tengligi uchun yetarli shartlarning bajarilishini e’tiborga olsak
(10.2)
tenglikni olamiz.
Yuqoridagi kabi (10.1) tenglikning 1-shartini bo’yicha, 2-sini bo’yicha differensiallab, natijalarni ayiramiz va yana aralash hosilalarning tengligidan foydalansak, u holda
(10.3)
tenglikka ega bo’lamiz.
10.1-Ta’rif. Agar ikki o’zgaruvchili haqiqiy funksiya sohada ikki marta uzluksiz differensillanuvchi bo’lib, Laplas tenglamasini qanoatlantirsa, ya’ni munosabat bajarilsa, u holda funksiyaga sohada garmonik funksiya deyiladi.
Bu ta’rifdan va (10.2), (10.3) munosabatlardan kelib chiqadiki, sohada analitik funksiyaning haqiqiy qismi va mavhum qismining koeffisientlari va funksiyalar shu sohada garmonik funksiyalardan iborat ekan.
10.2-ta’rif. Agar va funksiyalar o’zaro Koshi-Riman shartlari bilan bog’langan bo’lsa, u holda ularni o’zaro qo’shma garmonik funksiyalar deb ataymiz.