Fur’e qatori Faraz qilaylik

Fur’e qatori

Faraz qilaylik, funksiya da berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, shunday son topilsaki, da

tenglik bajarilsa, davriy funksiya, son esa uning davri deyiladi.
Agar son funksiyaning davri bo‘lsa, u holda

sonlar ham shu funksiyaning davri bo‘ladi.
Agar va davriy funksiyalar bo‘lib, ularning davri bo‘lsa,

funksiyalar ham davriy bo‘lib, ularning davri ga teng bo‘ladi.
funksiyalar davrli funksiya bo‘lgan holda ushbu
( o‘zgarmas, )
funksiya ham davriy funksiya bo‘lib, uning davri bo‘ladi. Haqiqatan ham,

bo‘ladi.Bu sodda davriy funksiya bo‘lib, u garmonika deb ataladi.Aytaylik, funksiya da uzluksiz bo‘lsin. Unda

funksiyalar ham da uzluksiz bo‘lib, ular da integrallanuvchi bo‘ladi. Bu integrallarni quyidagicha belgilaymiz:
(1)
Bu sonlardan foydalanib, ushbu
(2)
qatorni ( uni trigonometrik qator deyiladi) hosil qilamiz.
(2) qator funksional qator bo‘lib, uning har bir hadi garmonikadan iborat.
Ta’rif. (2) funksional qator funksiyaning Furye qatori deyiladi. (1) munosabatlar bilan aniqlangan

sonlar Furye koeffitsiyentlari deyiladi.
Funksiyalarni Fur’e qatoriga yoyish.
Demak, berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlari shu funksiyaga bog‘liq bo‘lib, (2) formulalar yordamida aniqlanadi, qator esa quyidagicha:
belgilanadi.Aytaylik, funksiya da berilgan juft funksiya bo‘lsin: . U holda
juft, toq funksiya bo‘ladi.
(1) formulalardan foydalanib, funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz:


Demak, juft funksiyaning Furye koeffitsiyentlari

bo‘lib, Furye qatori

bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya da berilgan toq funksiya bo‘lsin:
. U holda
toq, juft funksiya bo‘ladi.
(1) formulalardan foydalanib, funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz:


Demak, toq funksiyaning Furye koeffitsiyentlari

bo‘lib, Furye qatori

bo‘ladi.
1-misol. Ushbu juft funksiyaning Furye qatori topilsin.
◄ Avvalo berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz:

Demak, funksiyaning Furye qatori

bo‘ladi. ►
2-misol. Ushbu toq funksiyaning Furye qatori topilsin.
◄Berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:
.
Demak, funksiyaning Furye qatori

bo‘ladi.►
Faraz qilaylik, funksiya segmentda uzluksiz bo‘lsin. Ma’lumki, ushbu

almashtirish oraliqni ga o‘tkazadi, ya’ni o‘zgaruvchi da o‘zgarganda o‘zgaruvchi da o‘zgaradi. Endi

deymiz. Unda funksiya oraliqda berilgan uzluksiz funksiya bo‘ladi. Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlari

ni topib, Furye qatorini yozamiz:
.
Modomiki, ekan, unda

bo‘lib, uning koeffitsiyentlari

bo‘ladi. Natijada da berilgan funksiyaning Furye qatorini quyidagicha

bo‘lishini topamiz, bunda

3-misol. Ushbu funksiyaning Furye qatori topilsin.
◄ Yuqoridagi formulalardan foydalanib, funksiyaning Furye koeffitsiyentilarini topamiz:





Demak,

funksiyaning Furye qatori

bo‘ladi.►
Aytaylik, funksiya da berilgan bo’lsin. segment nuqtalar yordamida bo‘laklarga ajratilgan. .
Agar har bir da funksiya differensiallanuvchi bo‘lib, nuqtalarda chekli o‘ng
,
va chap

hosilalarga ega bo‘lsa, funksiya da bo‘lakli-differensiallanuvchi deyiladi.
C++ kodi:

#include
#include
using namespace std;

float x, h, i, Fx, n, s, a, b, Pi=3.14159;

int main()
{
cout<<"a = "; cin>>a;
cout<<"b = "; cin>>b;
cout<<"h = "; cin>>h;
cout<<"n = "; cin>>n;

cout<<"x"<<"\t"<<"Fx"<

for (x=a; x
{
s=0;
for (i=1; i<=n; i++)
s = s +(-4) * pow(-1,i)/i *sin(i*x);
Fx = -3 + s;

cout<
}
return 0;
}
Dastur natijasi: