Ba’zi trigonometrik funksiyalarni integrallash

Aim.Uz

Ba’zi trigonometrik funksiyalarni integrallash
1. Ushbu ko’rinishdagi integrallar berilgan

Bu ttransdent funktsiyalarning integralini hisoblash uchun quyidagi formulalardan foydalanib, berilgan integrallarni integrallash mumkin.

1-misol.

2-misol.

3-misol.

2. integral berilgan (p va q butun sonlar).

A) p va q butun sonlardan hech bo’lmaganda biri toq son bo’lsa, q=2K+1 u holda

bo’ladi.

sinx=t bilan belgilaymiz dt=cosxdx bo’ladi.

Demak, t ga nisbatan ratsional funktsiyaga keladi.

4-misol.

B) p va q sonlar musbat va juft sonlar bo’lsin. q=2K,

q=2S u holda ushbu formulalardan foydalanamiz. Bu formulalar yordamida sinus va kosinuslar darajasi 2 marta pasayadi.

5-misol.

V) p va q sonlar juft bo’lib, ulardan biri manfiy bo’lsa, boshqa almashtirish qilinadi.

6-misol.

G) p va q sonlardan ixtiyoriy tarsional sonlar bo’lsa, u holda olib sin²x=t almashtirish qilamiz.

Natijada ga ega bo’lamiz va integralni hisoblaymiz.

3. ushbu integralni integrallash uchun quyidagi umumiy usul mavjuddir. Bunda almashtirish qilinadi.

bu yerda ifodalar o’rinli.

Demak, berilgan integral ratsional funktsiyani integrallashga keltiriladi.

Ba’zi irratsional funktsiyalarni integrallash.
Irratsional funksiyalarni o’z ichiga olgan integrallarning ba’zi tiplarini ko’ramiz.

1. ko’rinishdagi integrallar.

Ushbu ko’rinishdagi integral ratsional funksiyaning integralida keltirish mumkin, bu yerda n-butun son, esa x va ga nisbatan ratsoinal funksiya.

Haqiqatan, berilgan integral deb o’zgaruvchini almashtiramiz, u holda

Demak,

Tenglikning o’ng tomonidagi turgan integral z ga nisbatan tarsional funktsiya integralidir.

1-misol. ni hisoblang.

Yechilishi: Bu yerda ax+b=x, n=2 x=z² deb, dx=2zdz ni topamiz. Demak

shunday qilib, bu integralni ratsional funksiya integraliga keltirdik.

ni qo’yib hisoblab qo’yamiz:

Umumiy ko’rinishdagi ushbu integral ratsional funksiya integralga o’rniga qo’shish yordamida ratsional ifodaga keltiriladi, bu yerda x va larga nisbatan ratsional ifoda.

2. ko’rinishdagi integrallar

integrallar bu integrallarning xususiy holidir. Birinchi integral jadvaldagi integraldir.

Ikkinchi integralni hisoblash uchun almashtirish bajaramiz. So’ngra tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko’tarib, ni hosil qilamiz,

bundan

Bundan tashqari

bo’lgani uchun

Lekin bo’lgani uchun quyidagiga ega bo’lamiz

Endi ko’rinishdagi integralga olamiz.

Bu integrallar o’zgaruvchini almashtirish bilan ko’rinishdagi integralga keltiriladi. A>0 yoki a<0 hollari hisoblanadi.

Misol. ni toping

Yechilishi:

va ga teng

Shunday qilib,

3. ko’rinishdagi integrallar.

Bu ko’rinishdagi integralda ildiz ostidagi ifoda larga nisbatan ratsional funksiya. U holda integral A, B va C koeffisiyentlarga bog’liq ravishda quyidagi integrallarning biriga keltiriladi:

I. II. III.

Bu integrallar quyidagi o’rniga quyishlarning biri yordamida topiladi.

I tip integral uchun t=a sin z,

II tip integral uchun t=atgz,

III tip integral uchun

Misol. ni topamiz.

Yechilishi: Berilgan integral I tip x=2 sin t deylik, u holda dx=2 costdt, 4-x²=4-4 sin² t=4 cos² t bo’ladi.

bo’lgani uchun

Shunga ko’ra