5-Mavzu: Xosmas integrallar

21-Ma’ruza: Xosmas integrallar. Chegaralari cheksiz xosmas integrallar. Chegaralanmagan funksiyalarning xosmas integrallari.
Xosmas integrallarning yaqinlashish alomatlari.
Reja:
1. Xosmas integral tushunchasi.
2. Chegaralari cheksiz xosmas integrallar.
3. Chegaralanmagan funksiyalarning xosmas integrallari.
Tayanch tushunchalar: Integral. Xosmas integrallar. Chegaralari cheksiz xosmas integrallar. Chegaralanmagan funksiyalarning xosmas integrallari. Xosmas integrallarning yaqinlashish alomatlari.


1. Xosmas integral tushunchasi
Funksiyaning aniq integralini o‘rganishda integrallash oralig‘i [a, b] ning chekliligi hamda f(x) funksiyaning uzluksiz bo‘lishi talab etildi. Ba’zan bu ikki talabdan biri yoki ikkalasi bajarilmay qolishi mumkin. Mana shunday hollarda funksiya integrali tushunchasi yordamida hal qilinadigan masalalarning mavjudligi integral tushunchasining shu hollar uchun umumlashtirishni taqazo etadi.


2. Cheksiz oraliq bo‘yicha integral.
Aytaylik, f(x) funksiya [a;+∞) oraliqda uzluksiz bo‘lsin.
U holda

integral mavjud bo‘lib, uning qiymati A ga bog‘liq bo‘ladi.
Ushbu
(1)
limit f(x) funksiyaning [a;+∞) oraliq bo‘yicha xosmas integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
(2)
Misol 1. Ushbu

integral topilsin.
Ravshanki, funksiya [1;+∞) da uzluksiz va

bo‘ladi. A→+∞ da limitga o‘tib topamiz:

Misol 2. Ushbu

integral topilsin.
Xosmas integral tushunchasidan foydalanib topamiz:


Misol 3. Ushbu

topilsin.
Bu f(x) = cos x funksiyaning [0;+∞) oraliq bo‘yicha xosmas integrali mavjud bo‘lmaydi, chunki,

limit mavjud emas.
Agar (1) limit mavjud bo‘lib, u chekli bo‘lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar (1) limit cheksiz yoki u mavjud bo‘lmasa, (2) xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
Masalan, 1-misoldagi xosmas integral yaqinlashuvchi, 2- va 3- misoldagi xosmas integrallar uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Misol 4. Ushbu
(3)
xosmas integral yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
Xosmas integral tushunchasiga ko‘ra

bo‘ladi.
Agar α > 1 bo‘lsa

bo‘lib, xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Agar 0 < α < 1 bo‘lsa,

bo‘lib, xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Agar α = 1 bo‘lsa

bo‘lib, qaralayotgan xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi. Demak,

xosmas integral α > 1 bo‘lganda yaqinlashuvchi, α ≤·1 bo‘lganda uzoqlashuvchi.
Aytaylik, f(x) funksiya [a;+∞) da uzluksiz bo‘lishidan tashqari da f(x) > 0 bo‘lsin. U holda
(4)
A ning funksiyasi sifatida o‘suvchi bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, A' > A uchun

bo‘lib,

bo‘lganligi sababli

bo‘ladi.
Bu holda ixtiyoriy A (A > a) uchun
(L - o‘zgarmas son)
tengsizlik bajarilsa,

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Misol. Ushbu

integral hisoblansin.
Ravshanki, integral ostidagi funksiya uchun F(x)=arctgx boshlang‘ich funksiya bo‘ladi.

Musbat funksiyaning

xosmas integrali f(x) funksiya grafigi tasvirlovchi egri chiziq, Ox o‘qi, hamda x = a vertikal chiziqlar bilan chegaralangan shaklning yuzini ifodalaydi.

Eslatma. Ushbu

xosmas integrallar quyidagicha

kiritiladi.