Agar / parametrning ixtiyoriy noldan farqli qiymatida f{tx,ty)=t f(X,y) ayniyat bajarilsa, j[x,y) funksiya n

---

Agar / parametrning ixtiyoriy noldan farqli qiymatida f{tx,ty)=t"f(x,y) ayniyat bajarilsa, j[x,y) funksiya n-
tartibli birJinsli funksiya deyiladi. 
Masalan, / {x,y) = x* + 3x2y funksiya uchun 
f ( t x , t y ) = ( t x f + 3 ( t x ) 2t y = t yx 3 + 3 t 3x 2y = t 3( x :>+ 3 x 2y ) = t 3f { x , y ) . 
Demak, bu funksiya 3- tartibli bir jinsli bo’ladi. 
AgarA x,y) - nol - tartibli birjinsli funksiya bo’lsa, u holda 
У=fix,у) (1) differensial tenglama birjinsli deyiladi. 
Ravshanki, bir xil tartibli bir jinsli P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar qatnashgan P(x,y)dx +Q{x,y)dy=0 (2) 
tenglama bevosita bir jinsli differensial tenglamaga olib kelinadi va shunung uchun u ham bir jinsli 
tenglama deb yuritiladi. 
(I) tenglamani, shuningdek, (2) tenglamani o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltirish mumkin. 
J{x,y) - nol - tartibli birjinsli funksiya bo’lgani uchun quyidagi ayniyatga ega bo’lamiz: 
f(tx,ty) =f(x,y). 
/ parametmi ixtiyoriy tanlab olishimiz mumkinligidan foydalanib, bu ayniyatda t = — x 
almashtirishni amalga oshirsak, 
f(x,y)=f{\£ 
ayniyatni hosil qilamiz. 
у = их formula orqali yangi izlanayotgan и funksiyani kiritib 
У = «’(«) (3) ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz, bu yerda 
у ^ их bo’lgani uchun, У=u'x+и. 
bo’ladi. Buni (3) qo’yamiz: Natijada и fiinksiyaga nisbatan 
u'x+u=ip(u) 
u <_ ч А и ) - и x 
", Ai 
a, b, 
ko’rinishdagi o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallash quyidagicha 
amalga oshiriladi. 
dudxrdurdx„ ----------------= — ; ---------------- = — + C ; 
Bundan keyin hosil bo’lgan umumiy integralda yordamchi и funksiya o’miga — ifodani qo’yamiz. 
x 
Ushbu 

---

dy_ J ax+by+c 
dx ^ a,x + bty + c, 
ko’rinishdagi tenglama bir jinsli yoki o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiriladi. 
ab 
Agar 
bu yerda a va p sonlar J 
[ajjr + bsy + c1= 0 Natijada birjinsli tenglamani hosil qilamiz. 
#0 bo’lsa x -u +a, y =v+f) almashtirish amalga oshiriladi, 
(ax +by +c =0 
tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi. 
ab 
Agar L = 0 bo’lsa, berilgan tenglama 
dy=^ kja^+b^+c^ d x a , x + b xy + c , 
ko’rinishda bo’ladi, bunda к = — = —. Bundan keyin "i A 
ax+b^y=t yoki ax+by=t 
almashtirish berilgan tenglamani o’zgaruvchilari ajraladigan tenglarnaga keltiradi. 
Masala. Quyidagi tenglamaming umumiy yechimini toping: a) (_y2-2xy)dx+x1dy=0; b) xy'=-Jx2-у2+у; 
c) (x-2y +3)dy+(2x+y-l)dx =0; 
d) 2(x+y)dy+(Зл+Зу- \)dx=0 
Yechish. a) (y1-2xy)dx+xldy=0 tengiamatarkibidagi P=y2- 2xy, Q=x2 
funksiyalar ikkalasi ham ikkinchi tartibli bir jinsii funksiyalar bo’lgani uchun bu tengiama bir jinsii 
tengiama bo’iadi. 
Shuning uchun y=xu almashtirishni qo’llaymiz. U holda dy- xdu t udx va tengiama x2{u2-
2u)dx+x2(xdu+udx)=0 yoki (u1- u)dx+xdu=0 ko’rinishda b o ’ladi. 
O’zgaruvchilami ajratamiz: — = va hosil qilingan tenglamani x n(l - u) 
integrallaymiz: 
JC w(l- u) O’ngtomondagi integralni topamiz: 
<--ЬгЧ <4> 
Си 1— \=( - +— Ии= +j— =lnlul- Inll- u\+lnlCl=In 
м(1-и) \a l-uj и l-u 11 1 1 11 1~u Topilgan ifodani (4)ga qo’ysak, 
InJC= In Си ,yani x = yoki u= -- - ga ega bo’lamiz. 1-u I-и С+д: 
v Jf2 ... So’ngi ifodadagi и o’miga — ni qo’yib, у = ------- umumiy yechimni topamiz. 

---

x C+x 
„2 Javob: у 
■
C+x 
b) Berilgan tenglamani / = ^ j l + — ko’rinishda yozsak uni bir jinsii 
differensial tengiama ekanligiga ishonch hosil qilamiz. 
y-xu almashtirishni qo’llaymiz. U holda y'=u +xu'. Bu ifodalami berilgan 
du /-----г tenglarnaga qo’ysak x — = V l-w 
dx 
hosil qilamiz, bu yerdan arcsin u~\n\Cx\. 
bo’ladi. O ’zgaruvchilami ajratib, - = = = — ni