Raxmatov rabbim

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

HISOB (CALCULUS)

MTH1218

KASR RATSIONAL VA BA’ZI IRRATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH.

12

MAVZU

RAXMATOV RABBIM

Oliy matematika kafedrasi dotsenti

REJA

1. Eng soda kasr-ratsional funktsiyalar va ularni integrallash. 2. Kasr-ratsional funktsiyalarni integrallash algoritmi. 3. Ba’zi bir irratsional ifodalarni integrallash

Ta’rif. Ikkita ko‘phadning nisbati ga kasr-ratsional funktsiya deyiladi, bu erda mos holda - darajali ko‘phadlar.

Quyidagi

(bu yerda sonlar haqiqiy sonlar boʻlib, natural son va ) kasrlarga eng sodda kasr–ratsional funktsiyalar ( yoki eng sodda ratsional kasrlar) deyiladi.

YUQORIDAGI TO‘RTTA ENG SODDA RATSIONAL KASRLARNI INTEGRALLASH MASALASIGA OʻTAMIZ.

sodda kasrni integrallash quyidagicha amalga oshiriladi:

sodda kasrni integrallash quyidagicha amalga oshiriladi:

Sodda kasrni integrallash uchun uning suratida maxrajning differensialini ajratib olish va maxrajini kvadratlar yig‘indisiga keltirish orqali jadvaldagi integrallarga keltiriladi.

sodda kasrni integrallash uchun almashtirish bajaramiz. U holda

Bu begilashlarni integralga qoyib quyidagiga ega boʻlamiz:

Bu yerda

Demak 4) integralning to‘la yechimini olish uchun

integralni hisoblash kifoya.

Bu yerda belgilash kiritamiz va quyidagini hosil qilamiz:

integralni hisoblash uchun uni boʻlaklab integrallaymiz.

Soʻngi topilgan ifodani (1) formulaga qoʻyamiz, natijada

(2) formula rekurrent formula deb ataladi. va

almashtirishlarga qaytib, izlanayotgan integralni topamiz.

ni bilgan holda (2) formula yordamida

integralni hisoblash mumkin. Haqiqatan ham,

Kasr-ratsional funksiyalarni integrallash algoritmi quyidagidan iborat:

1) agar qaralayotgan ratsional kasr notoʻg’ri boʻlsa, u holda uning suratini maxrajiga bo‘lib, ratsional kasrni koʻphad va toʻg’ri ratsional kasr yig‘indisi koʻrinishda ifodalab olamiz:

2) agar qaralayotgan ratsional kasr toʻg’ri kasr boʻlsa, u holda uni eng sodda kasrlarning yig‘indisi koʻrinishda ifodalab olamiz;

3) ratsional kasr integralini uning butun qismi va sodda ratsional kasrlar integrallari yig‘indisi koʻrinishida yozib olamiz va har bir integralni hisoblaymiz.

1-misol. Integralni toping:

Yechish.

2-misol. Integralni toping:

Yechish.

BA’ZI IRRATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH USULLARI.

Har qanday ratsional funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari elementar funksiya boʻlishini va ularni hisoblash usullarini koʻrib chiqdik. Lekin har qanday irratsional funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari elementar funksiya boʻlavermaydi. Biz boshlang‘ich funksiyalari elementar boʻladigan ba’zi bir sodda irratsional funksiyalarni integrallash usullarini ko‘ramiz. Ular asosan biror almashtirish yordamida ratsional funksiyaga keltiriladigan funksiyalardir.

butun sonlar)

Bu koʻrinishdagi integrallar

(bu yerda soni

kasrlarning umumiy maxraji) almashtirish natijasida kasr-ratsional funksiya integraliga keltiriladi:

Bu integralda R oʻz argumentlarining ratsional funksiyasi, a, b, c, d – haqiqiy sonlar va ratsional sonlar boʻlib, ularning umumiy maxraji va boʻlsin.

Quyidagi almashtirishni kiritamiz. U holda

Natijada, berilgan integral t ga nisbatan ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.

3. Quyidagi koʻrinishdagi integrallarni qaraymiz.

koʻrinishdagi integralni hisoblash uchun ildiz ostidagi funksiyadan toʻla kvadrat ajratiladi:

Soʻngra almashtirish bajariladi. Natijada integral

jadvaldagi koʻrinishdagi integralga keltiriladi.

integral suratida ildiz ostidagi funksiyaning differensiali ajratib olinadi va bu integral ikkita integral yig‘indisi koʻrinishiga keltiriladi:

bu yerda yuqorida hisoblangan integral.

integralni hisoblash almashtirish yordamida ga keltiriladi.

1-misol. Integralni toping:

Yechish.

Integral ostida 2 va 3 darajali ildizlar qatnashganligi sababli almashtirish bajaramiz. U holda boʻladi va integral quyidagi koʻrinishni oladi.

2-misol. Integralni toping:

Yechish. Integral ostidagi funksiya koʻrinishdagi

funksiya boʻlib, bu yerda . Bu kasrlarning umumiy

maxraji . U holda almashtirishlar bajarib,

3-misol. Integralni toping:

Yechish. Bu integral koʻrinishidagi integraldir. Shu sababli

funksiyaning suratini yozib olib quyidagiga ega boʻlamiz:

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

ADIZOV AKBAR

ADIZOVICH

Oliy matematika kafedrasi dotsenti

E’TIBORINGIZ UCHUN RAXMAT!