13. 1-mavzu. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari Dars rejasi

13.3-mavzu. Ko’rsatkichli, trigonometrik va giperbolik funksiyalar.
Ularning xossalari. Eyler formulalari


Dars rejasi:

1. 
   Ko’rsatkichli va trigonometrik funksiyalar.Ularning xossalari.Eyler formulalari.
   
2. 
   Giperbolik trigonometrik funksiyalar va ularning xossalari.
   

Mavzu bo’yicha adabiyotlar: [1], [5], [6]
Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: ko’rsatkichli funksiya, trigonometrik funksiyalar, Eyler formulalari, kosinus va sinus funksiyalarning qo’shish va ayirish formulalari, trigonometrik funksiyalarning nollari, giperbolik trigonometrik funksiyalar.
11.1. Ko’rsatkichli va trigonometrik funksiyalar. Ularning xossalari. Eyler formulalari.
Bizga quyidagi 3 ta darajali qator berilgan bo’lsin:
. (11.1)
. (11.2)
. (11.3)
Qatorlar nazariyasidan ma’lumki, ushbu darajali qatorlar har birining yaqinlashish radiuslari cheksizga tengdir. Demak, bu qatorlarning har biri butun kompleks tekislikning har bir nuqtasida absolyut yaqinlashuvchi. Biz bundan keyin isbot qilamizki, har bir darajali qator o’zining yaqinlashish doirasining ichida analitik funksiyadan iborat. Shunday qilib, (11.1), (11.2) va (11.3) qatorlarning yig’indilari butun kompleks tekislikda analitik funksiyalardan iboratdir.
Matematik analizdan ma’lumki, agar (11.1), (11.2) va (11.3) qatorlardagi - kompleks o’zgaruvchi o’rniga - haqiqiy o’zgaruvchini qo’ysak, u holda ularning yig’indilari mos ravishda , va ga teng bo’ladi. Shuning uchun kompleks o’zgaruvchining barcha qiymatlari uchun ham bu qatorlarning yig’indilarini mos ravishda , va deb belgilaymiz.
, va funksiyalar haqiqiy analizda qanday xossalarga ega bo’lsa, , va funksiyalar ham xuddi shunday xossalarga ega. Haqiqatan ham uchun
(11.4)
tenglik o’rinli ekanligini isbotlaymiz. (11.1) qator butun kompleks tekislikda absolyut yaqinlashuvchi. Shuning uchun bunday qatorlarni hadlab ko’paytirish mumkin: .
Bu ifoda qatorlarni hadlab ko’paytirishdan hosil bo’ladi. Agar (11.4) da deb olsak,u holda . Demak, .U holda
(11.5)
formula o’rinli bo’ladi. , va funksiyalar haqiqiy o’qda bir-biri bilan bog’lanmagan, lekin kompleks tekislikda ular bir-biri bilan quyidagicha ajoyib bog’lanishga ega:
(11.6)
Isbot. Bu formulani isbotlash uchun (11.1) yoyilmada ni bilan almashtirib, qatnashmagan hadlarni alohida, qatnashgan hadlarni alohida guruhlaymiz va (11.2), (11.3) yoyilmalardan foydalanamiz:
.
Agar shu formulada ni bilan almashtirsak, hosil bo’ladi. Bu yerdan (11.2) va (11.3) formulalardan kelib chiqadigan funksiyaning juft, funksiyaning toq funksiya ekanligiga asosan
(11.7)
bo’ladi. (11.6) va (11.7) formulalardan
, (11.8)
(11.9)
tengliklar kelib chiqadi.(11.6), (11.8) va (11.9) formulalar Eyler formulasi deyiladi. (11.6) formuladan foydalanib, har qanday kompleks sonni ko’rsatkichli shaklda ifodalash mumkin: , bunda .
Endi va funksiyalarning qo’shish va ayirish formulalarini, ya’ni quyidagi formulalarni isbotlaymiz
, (11.10)
(11.11)
Isbot. (11.4) va (11.6) formulalarni qo’llab, va

(11.12)
munosabatlarni hosil qilamiz. Bunda ni ga, ni ga almashtirsak va funksiyaning juft, funksiyaning toq funksiya ekanligidan foydalansak,
(11.13)
hosil bo’ladi. (11.12) va (11.13) formulalardan va funksiyalarning qo’shish formulalari esa

va

kelib chiqadi. Agar oxirgi formulalarda deb olsak, u holda kosinus va sinusning ayirish formulalarini olamiz.
Kosinus va sinus funksiyalarining qo’shish formulalarida deb olsak, u holda kelib chiqadi. Bundan esa va funksiyalar davrli funksiyalardan iborat ekanligi kelib chiqadi.
Endi , va funksiyalarning nollarini tekshiramiz.
1) , bundan . -ning hech bir qiymatida nolga aylanmaydi, ya’ni funksiyaning nollari yo’q;
2) , (11.9) formulaga ko’ra, , bu yerdan ko’rinishdagi yechimni izlaymiz:
, , , .
Demak, yuqoridagilarga asosan funksiyaning nollari dir.
3) , .
Agar kosinus funksiyaning qo’shish formulasida deb olsak, u holda . ning barcha kompleks qiymatlari uchun ham trigonometriyaning asosiy ayniyati o’rinli ekanligini olamiz. ning haqiqiy qiymatlari uchun , lekin ning kompleks qiymatlarida va funksiyalar istalgancha katta qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Masalan,
, , .