13. 1-mavzu. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari Dars rejasi

13.1-Teorema (Oddiy kontur uchun Koshining integral teoremasi). Agar funksiya chekli va bir bog’lamli sohada analitik bo’lsa, u holda sohada yotuvchi ixtiyoriy yopiq bo’lakli-silliq chiziq bo’yicha funksiyadan olingan integral ga teng, ya’ni
.
Bu teorema quyidagi teoremaga ekvivalent (teng kuchli).
13.2-Teorema. Agar Koshining integral teoremasining shartlari bajarilsa, u holda funsiyadan -da yotuvchi har qanday L bo’lakli silliq chiziq bo’yicha olingan integralning qiymati chiziqning formasi (shakli)dan bog’liq bo’lmasdan, uning boshlang’ich va oxitgi nuqtalaridangina bog’liq bo’ladi.
13.2-teorema isbotini sodda holga keltiramiz. Asosiy lemmaga ko’ra agar biz teoremani sohada yotuvchi ixtiyoriy yopiq siniq chiziq uchun isbotlasak, Koshi teoremasi isbot bo’ladi. Haqiqattan, asosiy lemmaga binoan son uchun shunaqa ga ichki chizilgan yopiq siniq P chiziq ( ) topiladiki, bajariladi. Agar bo’lsa, u holda , ya’ni (13.2-chizmaga qarang).

13.2-chizma

Bu yerdan va integraning additivlik xossasidan, agar biz Koshi teoremasini sohada yotuvchi ixtiyoriy ko’pburchakning perimetri uchun isbotlasak, u holda umumiy hol uchun Koshi teoremasining isboti kelib chiqadi (13.3-rasmga qarang):

13.3-chizma
Har bir ko’pburchakni chekli sondagi bir-birini qonlamaydigan uchburchaklarga ajlatish mumkin. Demak, integralning soha chegarasi funksiyasi sifatida additivlik xossasiga ko’ra

bo’lganligidan, Koshi teoremasining isboti uchun sohada yotuvchi ixtiyoriy uchburchakning perimetri bo’yicha olingan ekanligini ko’rs atish kifoya (13.4-chizmaga qarang).

13.4-chizma