13. 1-mavzu. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari Dars rejasi

Yechish. Bu funksiya butun kompleks tekislikda aniqlangan bo’lib, u faqat nuqtadagina differensiallanuvchi. Haqiqatan ham

Bu yerdan
1) bo’lsa, bo’ladi;
2) bo’lsa, u holda limitning mavjud bo’lish yoki bo’lmasligi
(13.3)
limitdan bog’liq. Oxirgi

limit esa mavjud emas. Chunki agar deb olsak, u holda
=
va agar deb olsganimizda esa quyidagi natijani olamiz:

Demak, (13.3) limit intilish yo’liga bog’liq holda turli qiymatlarni bergani uchun mavjud emas. Shuning uchun ham nuqtalarda mavjud emas. Shunday qilib, funksiya nuqtada monogen bo’lib, barcha nuqtalarda differensiallanuvchi emas. Demak u nuqtada va nuqtalarda ham analitik emas.
13.2-misol. funksiya hech bir nuqtada differensiallanuvchi emas, chunki (13.3) limit hech bir nuqtada mavjud emas. Lekin bu funksiya butun kompleks tekislikda uzluksiz.
13.3-misol. Bu funksiya ham funksiya kabi butun kompleks tekislikda uzluksiz bo’lib, ning hech bir nuqtasida differensiallanuvchi emas. Bunga ishonch hosil qiling.

13.3. Kompleks o’zgaruvchili funksiya differensiali. Faraz qilaylik, funksiya biror nuqtada monogen bo’lsin, u holda shu nuqtada hosila mavjud va bu yerdan

tenglikni olamiz. Bunda bilan da nolga intiluvchi funksiya (cheksiz kichik miqdor) belgilangan. Oxirgi tenglikdan
(13.4)
ni hosil qilamiz, ya’ni nuqtadagi funksiya orttirmasi ikki cheksiz kichik miqdorlarning yig’indisi shaklida ifodalanadi. Bu miqdorlarning biri bo’lib, agar bo’lsa, u holda u bilan bir xil tartibdagi cheksiz kichik miqdordir va uning koeffisienti dan bog’liq emas. Ikkinchi miqdor esa kichiklik tartibi dan yuqoridir. Qaralayotgan orttirmaning qismi funksiya orttirmasining chiziqli qismi yoki funksiya differensiali deb aytiladi va

kabi belgilanadi.
Agar bo’lsa, u holda teng bo’ladi, ya’ni erkli o’zgaruvchining differensiali uning orttirmasiga teng bo’ladi. Bu yerdan yoki (9.4) ifodadan ko’rinadiki, agar argument orttirmasi cheksiz kichik bo’lsa, u holda funksiya orttirmasi ham cheksiz kichik bo’ladi, ya’ni funksiya nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Shunday qilib, agar funksiya biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda u shu nuqtada albatta uzluksiz bo’ladi.