Darajali funksiya

Darajali funksiya jukovskiy funksiyasi
Reja:

1. 
   Darajali funksiya
   
2. 
   Jukovskiy funksiyasi.
   

Darajali funksiya
Ushbu

ko’rinishdagi funksiya darajali funksiya deyiladi, bunda n – natural son.
Bu funksiya butun kompleks tekislikda golomorf. shart nuqtalarda bajariladi. Demak funksiya sohadagi har bir z nuqtada konform ekan. Z=0 nuqtada konformlikning buzilishini shu nuqtada burchak kattaliklarining saqlamasligi ham ko’rsatadi.
tekisliklarda qutb koordanatalarini kiritamiz:

Natijada (1) akslantirih ushbu

ko’rinishga ega bo’ladi. Undan esa,

bo’lishi kelib chiqadi.
Demak,

akslantirish qutb koordinatalar sistemasida ushbu

akslantirishga o’tadi. Binobarin (1) akslantirishni o’rganish (2) akslantirishni o’rganishga keladi.
(2) akslantirishda topamiz:
1)..r=const bo’lganda =const bo’ladi. Demak, (1) tekislikdagi markazi z=0 nuqta da bo’lgan aylanalarni tekislikdagi markazi W=0 nuqtada bo’lgan aylanalarga akslantiradi.
2).. bo’lganda bo’ladi. Demak, (1) akslantirish tekislikdagi z0 nuqtadan chiqqan nurlarni, tekislikka W=0 nuqtadan chiqqan nurlarga akslantiradi.
Ayni paytda (1) akslantirish nurni (haqiqiy musbat yo’nalish bo’yicha olingan nurni ) nurga, tekisdagi nurga akslantiradi.

Yuqorida keltirilgan tasdiqlardan

akslantirish tekislikdagi

sohani (uchi z=0 nuqtada bo’lgan burchakni sektorni) tekislikdagi

sohaga (uchi W=0 nuqtada bo’lgan burchakka – sektorga) akslantirishi kelib chiqadi.
Darajali funksiya yordamida bajariladigan akalantirishda z=0 nuqtada burchak n marta oshganligi sababli z=0 nuqta da akslantirish (n>1) konform bo’lmaydi.
Xususan,

akslantirish yordamida tekislikdagi

soha (burchak-sektor), tekislikdagi

sohaga (yuqori yarim tekislikka) o’tadi.
Demak, funksiya (3) sohaning (4) sohaga konform akslantiradi.
Endi tekislikda ushbu

sohani (uchi z=0 nuqtada, tomonlari argz=0,argz=2/n nurlardan iborat burchakli-sektorni) olamiz.
Ravshanki,

funksiya yordamida bu soha C tekislikdagi

sohaga akslanadi.
Xulosa. -funksiyamtz butun tekislikda golomorf funksiya, bir yaproqli emas. Lekin tekislikni n ta bo’lakka bo’lsak orasidagi burchak ga teng bo’lgan. Funksiyamiz har bir bo’lakni konform sohaga akslantiradi.
Praktikada bu funksiyadan burchak sohalarni yuqori yarim tekislikk akslantirishda foydalaniladi. Agar sohani buchagi ga teng bo’lsa, bizning funksiyamiz bunday sohani Yuqori yarim tekislikka akslantiradi.
Misol. Ushbu

darajali funksiya yordamida tekislikdagi ………………… ………………………..
to’plamning tekislikdagi aksini toping. Berilgan E to’plamni

deb