Darajali funksiya

Jukovskiy funksiyasi.

Ushbu

funksiyaga Jukovskiy funksiyasi deyiladi.
Funksiyamiz kasr–chiziqli funksiya emas. Faqat 2 ta kasr-chiziqli funksiya yig’indisidan iborat.
Bu funksiya va nuqtalardan tashqari butun tekislikda golomorf. Uning hosilasi , agar bo’lsa.
Bu yerdan ko’rinib turibdiki, ixtiyoriy chekli nuqtada Jukovskiy funksiyasi konform bo’lar ekan. Bu funksiyaning nuqtada konformligini konformlikning ta’rifidan foydalanib isbotlash mumkin. tenglikdan esa funksiyaning nuqtada ham konformligi kelib chiqadi.
Shunday qilib Jukovskiy funksiyasi nuqtalardan tashqari hamma yerda konform ekan.
Endi bu funksiyasi 2 ta nuqtalarni bitta nuqtaga o’tkazsin. U holda

bo’ladi. ekanligidan tenglikni hosil qilamiz.
Shunday qilib, Jukovsikiy funksiyasining birorta D sohada bir varaqli bo’lishi uchun bu sohaning

tenglikni qanoatlantiruvchi va nuqtalarni saqlamasligi zarur va etarlidir. (1)-funksiya quyidagi sohalarda bir yaproqli
a)
b)
c)
d)
Endi (1) funksiyaning geometrik ma’nosini tekshirish uchun quyidagicha yozib olamiz:
.
U holda

Bundan

tenglamalarga ega bo’lamiz.
Endi Jukovskiy funksiyasi yordami bilan tekislikdagi aylananing tekislikdagi qanday chiziqdan iborat ekanini tekshiramiz. Bunda ikki hol bo’ladi: va . a) bo’lsin. Quyidagicha belgilab olaylik.
va bunda . U holda (3) ning ko’rinishi

bo’lib,

bo’ladi.
Bu tekislikda fokuslari nuqtada, yarim o’qlari va bo’lgan ellipsni ifodalaydi. Endi ellipsdagi musbat yo’nalishni aniqlaylik. Agar aylana ustidagi ixtiyoriy z nuqta musbat yo’nalish bo’yicha bir marta aylanib chiqsa, burchak 0 dan gacha o’zgaradi. (3^') ellipsda bo’lgani uchun burchak 0 dan gacha o’zgaradi: . Buning uchun ellips ustidagi ixtiyoriy W nuqta soat strelkasi bo’yicha harakat qilishga majbur.
Agar biz aylananing r radiusini nolga yaqinlashtirsak
ya’ni, ellips kattalasha borib, aylana shakliga yaqinlasha boradi.
Agar bo’lsa, u holda ya’ni ellips Oy o’qidagi
[-1;1] kesmaga tortiladi.
Shunday qilib (1) funksiya bilan doira Oq o’qining [-1;1] kesmadan iborat bo’ladi. Shu bilan birga aylananing yuqori qismiga [-1;1] kesmaning quyi qirg’og’i va aylananing pastki qismiga esa kesmaning Yuqori qirg’og’i mos keladi.
b) bo’lsin.