8-ma’ruza. Darajali funksiya. Juokvskiy funksiyasi

8-ma’ruza.

DARAJALI FUNKSIYA. JUOKVSKIY FUNKSIYASI.

Ushbu
(1)

ko’rinishdagi funksiya darajali funksiya deiladi, bunda n – natural son.
Bu funksiya butun kompleks tekislikda golomorf. shart nuqtalarda bajariladi. Demak funksiya sohadagi har bir z nuqtada konform ekan. z=0 nuqtada konformlikning buzilishini shu nuqtada burchak kattaliklarining saqlamasligi ham ko’rsatadi.
tekisliklarda qutb koordanatalarning kiritamiz:

Natijada: (1) akslantirish ushbu

ko’rinishga ega bo’ladi. Undan esa,

bo’lishi kelib chiqadi.
Demak,

akslantirish qutb koordinatalar sistemasida ushbu
(2)
akslantirishga utadi. Binobarin (1) akslantirishni urganish (2) akslantirishni urganishga keladi.
(2) akslantirishda topamiz:
1)..r=const bo’lganda =const bo’ladi. Demak, (1) tekislikdagi markazi z=0 nuqtada bo’lgan aylanalarni tekislikdagi markazi W=0 nuqtada bo’lgan aylanalarga akslantiradi.
2).. bo’lganda bo’ladi. Demak, (1) akslantirish tekislikdagi z=0 nuqtadan chiqkan nurlarni, tekislikka W=0 nuqtadan chiqkan nurlarga akslantiradi.
Ayni paytda (1) akslantirish no’rni (haqiqiy musbat yo’nalish bo’yicha olingan no’rni ) nurga, tekisdagi nurga akslantiradi.

YUqorida keltirilgan tasdiklardan

akslantirish tekislikdagi

sohani (uchi z=0 nuqtada bo’lgan burchakni sektorni) tekislikdagi

sohaga (uchi W=0 nuqtada bo’lgan burchakka – sektorga) akslantirishi kelib chiqadi.
Darajali funksiya yordamida bajariladigan akalantirishda z=0 nuqtada burchak n marta oshganligi sababli z=0 nuqtada akslantirish (n>1) konform bo’lmaydi.
Xususan,

akslantirish yordamida tekislikdagi
(3)
soha (burchak-sektor), tekislikdagi
(4)
sohaga (yuqori yarim tekislikka) utadi.
Demak, funksiya (3) sohaning (4) sohaga konform akslantiradi.
Endi tekislikda ushbu
(5)
sohani (uchi z=0 nuqtada, tomonlari argz=0,argz=2/n nurlardan iborat burchak-sektorni) olamiz.
Ravshanki,

funksiya yordamida bu soha S tekislikdagi
(6)
sohaga akslanadi.
Xulosa. -funksiyamtz butun tekislikda golomorf funksiya, bir yaproqli emas. Lekin tekislikni n ta bo’lakka bo’lsak orasidagi burchak ga teng bo’lgan. Funksiyamiz har bir bo’lakni konform sohaga akslantiradi.
Praktikada bu funksiyadan burchak sohalarni yuqori yarim tekislikk akslantirishda foydalaniladi. Agar sohani buchagi ga teng bo’lsa bizni funksiyamiz bunday sohani yuqori yarim tekislikka akslantiradi.
Misol. Ushbu

darajali funksiya yordamida tekislikdagi ………………… ………………………..
to’plamning tekislikdagi aksini toping. Berilgan E to’plamni

deb