13. 1-mavzu. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari Dars rejasi

10.2. Berilgan garmonik haqiqiy yoki mavhum qismi yordamida analitik funksiyani qurish. Faraz qilaylik, bizga biror bir bog’lamli chekli sohada garmonik bo’lgan funksiya berilgan bo’lib, u shu sohada qandaydir analitik funksiyaning haqiqiy qismidan iborat bo’lsin: , . Endi biz funksiyani tiklash masalasini qaraymiz. Bu masalani yechish uchun funksiyaning mavhum qismi funksiyani izlash kerak: Koshi-Riman shartlaridan foydalansak, ning xususiy hosilalarini berilgan funksiyaning xususiy hosilalari bilan ifodalash mumkin:
, .
Endi o’z navbatida va funksiyalar ham xususiy hosilalarga ega va bu funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalardan iborat:
va .
Bu yerdan tenglikning bajarilishini olamiz. U holda quyidagi teorema o’rinli.
10.1-teorema. Agar va va xususiy hosilalari bilan birgalikda tekislikdagi sohada uzluksiz bo’lsa, u holda

egri chiziqli integralning ixtiyoriy va nuqtalarni tutashtiruvchi chiziqdan bog’liq bo’lmasligi uchun uchun tenglikning bajarilishi zarur va soha bir bog’lamli bo’lganda esa yetarlidir. (L.D.kudryavsev.Kurs matematicheskogo analiza.Tom 2. 47.9,teorema 4, str. 399-401).
Boshlang’ich nuqtani o’zgarmas deb olib, oxirgi nuqtani o’zgaruvchi deb qarasak, funksiya sohada aniqlangan bir qiymatli funksiyadan iborat bo’lib qoladi. Ikkinchi tomondan funksiya xususiy hosilalariga ning mos xususiy hosilalariga sohada aynan teng:
, .
U holda va funksiyalar faqat o’zgarmas son bilan farq qiladi. Chunki ularning ayirmasining xususiy hosilalari aynan nolga teng. Shunday qilib,
.
Endi , funksiyalar ikki o’zgaruvchili funksiyalar sifatida sohada uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, Koshi-Riman shartlarini qanoatlantiradi. Demak, kompleks funksiya differensiallanuvchi bo’lishligining etarli shartlari bajariladi. Shuning uchun funksiya sohada analitik funksiyadir. Shunday qilib, analitik funksiyani uning berilgan garmonik qismi bo’yicha
. (10.4)
ko’rinishda tiklash (qurish) mumkin ekan. Bu berilgan haqiqiy qismi bo’yicha analitik funksiyani tiklash formulasidir.
Shunga o’xshash funksiyaning berilgan garmonik mavhum qismi bo’yicha ham analitik funksiyani tiklash mumkin.