Ўқув фанининг мақсади ва вазифалари

Ҳақиқий ўзгарувчининг функциялари назарияси

Тўплам қуввати. Эквивалент тўпламлар. Тўплам қуввати тушунчаси. Қувватларни таққослаш. Саноқли тўпламлар ва уларнинг хоссалари. Рационал ва алгебраик сонлар тўпламларининг саноқлилиги. Ҳақиқий сонлар тўпламининг саноқсизлиги. Континуум қувватли тўпламлар. Тўғри чизиқдаги нуқталар тўплами. Лимит нуқталар. Очиқ ва ёпиқ тўпламлар. Мукаммал тўплам. Сонлар ўқидаги очиқ ва ёпиқ тўпламларнинг тузилиши. Кантор тўплами ва унинг хоссалари.
Монотон функциянинг узулиш нуқталари. Ўзгариши чегараланган функциялар ва уларнинг хоссалари.
Узлуксиз чизиқ тушунчаси. Жордан, Пеано чизиқлари. Кантор ва Урисон чизиқлари. Тўғриланувчи чизиқлар.
Тўпламнинг Жордан ўлчови, унинг хоссалари. Чизиқли тўпламлар учун Лебег ўлчови. Ўлчовли тўпламлар ҳақидаги теоремалар. Лебег маъносида ўлчовли функциялар ва уларнинг хоссалари.
Риман интеграли. Лебег теоремаси. Стильтес интеграли. Лебег интеграли ва унинг хоссалари. Риман ва Лебег интегралларини таққослаш.
Тўла метрик фазолар
Тўла метрик фазолар. Тўлдирувчи фазо ҳақидаги теорема. Ёпиқ шарлар ҳақидаги теорема. Қисқартиб акслантириш принципи. Қисқартиб акслантириш принципининг алгебра ва анализдаги татбиқлари.
Сепарабеллик ва компактлик.
Сепарабеллик тушунчаси. Rⁿ, C[a,b], l₁, l₂ фазоларнинг сепарабеллиги. Сепарабел бўлмаган фазога мисол. Компактлик критерийси. Rⁿ, C[a,b], l₁, l₂ фазоларда тўпламларнинг компактлиги.
Чизиқли функционаллар ва операторлар.
Чизиқли фазолар. Нормаланган фазо. Банах фазоси, Гильберт фазоси. Чизиқли функционаллар. Чизиқли функционалларнинг узлуксизлиги, хоссалари. Чизиқли функционалларнинг суст яқинлашуви. Чизиқли операторлар. Чизиқли операторларнинг узлуксизлиги, хоссалари.
Функционал анализнинг вариацион ҳисобдаги татбиқлари
Чизиқли функционалнинг дифференциали, вариацияси. Дифференциалланувчи функционалнинг экстремуми. Эйлер тенгламаси. Брахистохрон масаласининг ечими. Энг кичик айланма сирт ҳақидаги масала.