Гилберт фазоси. 1-таъриф

6-мавзу. Гилберт фазоси.
1-таъриф. фазо қуйидаги хоссаларга эга бўлсин:
1. Ихтиёрий ва учун ва аниқланган ва у ҳам га тегишли бўлса (қўшиш ва кўпайтириш амалига нисбатан ёпиқ).
2. Қўшиш ва кўпайтириш амали учун:
(ўрин алмаштириш)
(группалаш хоссаси)
(тақсимот хоссаси)
бирлик элементнинг мавжудлиги
хоссалари ўринли бўлиши.
3. элементнинг мавжудлиги, яъни .
4. учун топилса ва , яъни тескари элементнинг мавжудлиги.
1-4-хоссаларга эга бўлган фазо чизиқли фазо дейилади.
Масалан: 1) n- ўлчовли вектор фазо чизиқли фазо бўлади.
2) даги узлуксиз функциялар фазоси чизиқли фазо бўлади.
2-таъриф. чизиқли фазода сколяр кўпайтма деб, қуйидаги хоссаларга эга бўлган
(1)
сонга айтилади.
Сколяр кўпайтма учун ва бўлганда:
(2)
(3)
(4)
(5)
да (2)-(5) хоссалар ўринли бўлади.
1-мисол. фазо ва векторлар фазоси бўлса, сколяр кўпайтма
(6)
кўринишда аниқланади ва бунинг учун (2)-(5) хоссалар ўринли бўлади.
2-мисол. фазода функциялар бўлсин, у ҳолда сколяр кўпайтма
(7)
кўринишда аниқланади ва бунинг учун (2)-(5) хоссалар ўринли бўлади.
3-мисол. чизиқли фазо функциядан иборат бўлсин.
У холда ва ва
учун


кўринишда аниқланади, бунда ҳам (2)-(5) хоссалар ўринли бўлади.
Бундай чизиқли фазода сколяр кўпайтма
(8)
кўринишда бўлади. Бундан эса

келиб чиқади.
Агар бўлса, ва экани келиб чиқади. Бундан
ва келиб чиқади. Бундан ва
4-мисол. сохада узлуксиз бўлган шартни қаноатлантирувчи функцияларни қарайлик.
Бу функциялар учун (2)-(5) хоссалар ўринли бўладиган сколяр кўпайтмани киритиб бўлмайди, чунки учун шарт бажарилмайди.
5-мисол. чизиқли фазо сифатида сигментда ўзи 1-тартибли ҳосилалари узлуксиз бўлган функцияларни қараймиз.
У холда сколяр кўпайтма
(9)
кўринишда аниқланади.
Бундай аниқлашда (2)-(3)- хоссаларни текшириш осон, (4) хоссани текширамиз
(10)
бу хосса ҳам бажарилди. (4) хоссани бажарилиши (10) кўринади. (5) хоссани текширамиз:

6-мисол. Аввалги мисолдаги сколяр кўпайтмани
(11)
кўринишда киритсак. (2)-(3)-хоссаларни бажарилишини осон текширилади. (5) хоссани текширамиз

Масалан лекин
Эслатма:
келиб чиқади.