Ўқув фанининг мақсади ва вазифалари

Биринчи тартибли дифференциал тенгламалар
Асосий тушунчалар. Дифференциал тенгламага олиб келадиган масалалар. Ҳосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли дифференциал тенгламалар: Ўзгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган дифференциал тенгламалар. Бир жинсли ва унга келтириладиган дифференциал тенгламалар. Чизиқли тенгламалар, Бернулли тенгламаси. Тўла дифференциалли тенглама, интегралловчи кўпайтувчи. Биринчи тартибли дифференциал тенглама ечимининг мавжудлиги ва ягоналиги ҳақидаги теорема (исботсиз). Махсус нуқталар ва махсус ечимлар.
Ҳосилага нисбатан ечилмаган биринчи тартибли дифференциал тенгламалар: f(x,y’)=0 ва f(y,y’)=0 кўринишдаги тенгламалар. Лагранж ва Клеро тенгламалари. Изогонал ва ортогонал траекториялар.
Юқори тартибли дифференциал тенгламалар
Асосий тушунчалар. Тартиби пасаядиган дифференциал тенгламалар. n- тартибли тенглама умумий ечимининг структураси. n- тартибли чизиқли тенглама. n- тартибли чизиқли бир жинсли тенгламаларнинг ечимларининг фундаментал системаси. Умумий ечим. Ўнг томонли чизиқли тенгламалар ва уларнинг умумий ечимининг тузилиши.
n-тартибли ўзгармас коэффициентли чизиқли тенглама. n-тартибли ўзгармас коэффициентли чизиқли тенгламаларни ечиш. Иккинчи тартибли ўзгармас коэффициентли чизиқли тенгламалар. Механик тебранишлар тенгламаси. Эркин ва мажбурий тебранишлар. Резонанс. Дифференциал тенгламалар системаси.

Аналитик функциялар назарияси

Комплекс сонлар тўплами. Комплекс сонлар майдони. Ком­плекс сонларнинг геометрик талқини. Комплекс сонлар кетма-кетлиги ва қаторлар. Комплекс сонлар тўплами ва Евклид текслигининг изоморфлиги. Риман сфераси, кенгайтирилган комплекс текислик.
Комплекс ўзгарувчининг функцияси ҳақида тушунча, унинг геометрик талқини. Функциянинг лимити, узлуксизлиги ва текис узлуксизлиги.
Комплекс ўзгарувчили функциянинг ҳосиласи. Дифференциалланувчи бўлиш шарти. Нуқтада ва соҳада аналитик функция тушунчаси. Гармоник ва қўшма гармоник функциялар. Ҳосила модули ва аргументнинг геометрик маъноси. Конформ акслантириш тушунчаси.
Асосий элементар функциялар. Чизиқли ва каср чизиқли функциялар. Даражали функция ва радикал. Аналитик функцияларнинг бир варақли соҳаси. Риман сирти тушунчаси. Комплекс ўзгарувчили кўрсаткичли, тригонометрик, логарифмик функциялар ва уларнинг хоссалари. Тригонометрик ва гиперболик функциялар орасидаги боғлиқлик. Ихтиёрий комплекс кўрсаткичли даража.
Комплекс ўзгарувчининг функциясини интеграли. Интеграл таърифи ва унинг хоссалари. Коши теоремаси. Кўп боғламли соҳа учун Коши теоремаси. Бошланғич функция ва интеграл. Кошининг интеграл формуласи.
Комплекс ҳадли даражали қаторлар. Абель теоремаси. Яқинлашиш доираси ва радиуси. Даражали қатор йиғиндисининг яқинлашиш доирасида аналитик функция эканлиги. Аналитик функцияни Тейлор қаторига ёйиш. Коши тенгсизлиги ва Лиувилл теоремаси. Алгебранинг асосий теоремаси. Аналитик функцияларнинг ноллари. Ягоналик теоремаси. Айрим элементар функцияларни ҳақиқий ўқдан аналитик давом эттириш.
Лоран қатори хақида тушунча. Лоран теоремаси. Лоран қаторидаги коэффицентлар учун Коши тенгсизлиги. Махсус нуқта. Махсус нуқталар классификацияси.
Чегирма тушунчаси. Чегирмаларни ҳисоблаш. Чегирмалар ҳақидаги асосий теорема. Интегралларни ҳисоблашда чегирмаларни қўллаш.