Ўқув фанининг мақсади ва вазифалари

R^m фазо. R^m фазода кетма-кетлик лимити. R^m фазодаги баъзи бир тўпламларнинг геометрик тасвири.
Кўп ўзгарувчили функция. Функцияларнинг аниқланиш соҳалари. Сатҳ чизиқлари ва сиртлари. Кўп ўзгарувчили функция лимити.
Ҳусусий ҳосила ва тўла дифференциал. Уринма текислик ва нормал тенгламалари. Мураккаб функцияларнинг ҳосилалари. Юқори тартибли ҳусусий ҳосилалар ва юқори тартибли дифференциаллар. Ошкормас функцияларнинг ҳосилалари. Тейлор формуласи. Ошкормас тенглама билан берилган сиртнинг уринма текислиги ва нормал тенгламалари. Йўналиш бўйича ҳосила.
Кўп ўзгарувчили функциянинг экстремумлари. Функция экстремумининг зарурий шарти. Икки ўзгарувчили функциянинг экстремумларини излаш. Энг катта ва энг кичик қийматларини излаш. Шартли экстремумлар.
Каррали интеграллар. Икки ўлчовли интегрални ҳисоблаш. Икки ўлчовли интегралда интеграллаш тартибини ўзгартириш. Икки ўлчовли интегралда ўзгарувчини алмаштириш. Кутб координаталар системасида икки ўлчовли интеграл. Уч ўлчовли интегрални ҳисоблаш. Цилиндрик ва сферик координаталарда уч ўлчовли интеграл.
Каррали интегралнинг татбиқлари. Ясси фигура ва сирт юзаларини ҳисоблаш. Икки ўлчовли интеграл ёрдамида ҳажмларни ҳисоблаш, уч ўлчовли интеграл ёрдамида ҳажмларни ҳисоблаш. Карралли интегралнинг физикага татбиқлари. Ясси фигура ва жисмларнинг массалари, оғирлик марказлари координаталари, статик ва инерция моментларини ҳисоблаш.
Эгри чизиқли интеграллар. Ёй узунлиги бўйича олинган эгри чизиқли интегралларни ҳисоблаш. Координаталар бўйича олинган эгри чизиқли интегралларни ҳисоблаш. Грин формуласи. Эгри чизиқли интеграл ёрдамида ясси фигураларнинг юзаларини ҳисоблаш. Эгри чизиқли интегралнинг интеграллаш йўлига боғлиқ бўлмаслик шарти. Функцияни унинг тўла дифференциали бўйича тиклаш.
Дифференциал тенглама ҳақида асосий тушунчалар. Дифференциал тенгламага олиб келадиган масалалар.
Ҳосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли дифференциал тенгламалар. Ўзгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган дифференциал тенгламалар. Дифференциал тенгламага келтириб ечиладиган масалалар. Бир жинсли ва унга келтириладиган дифференциал тенгламалар. Чизиқли тенгламалар, Бернулли тенгламаси. Тўла дифференциалли тенглама, интегралловчи кўпайтувчи. Махсус нуқталар ва махсус ечимлар.
Ҳосилага нисбатан ечилмаган биринчи тартибли дифференциал тенгламалар. f(y,y’)=0 ва f(x,y’)=0 кўринишдаги тенгламалар. Лагранж ва Клеро тенгламалари. Изогонал ва ортогонал траекториялар.
Юқори тартибли дифференциал тенгламалар. Тартиби пасаядиган дифференциал тенгламалар.
n-тартибли чизиқли дифференциал тенглама. n-тартибли ўзгармас коэффициентли чизиқли тенгламаларни ечиш. n-тартибли ўзгармас коэффициентли чизиқли ўнг томонли тенглама ечимларини аниқмас коэффициентлар ва ўзгармасни вариациалаш усуллари билан топиш. Иккинчи тартибли ўзгармас коэффицентли чизиқли дифференциал тенгламаларнинг татбиқлари. Дифференциал тенгламалар системаси.
Комплекс сонлар кетма-кетлиги ва қаторлар. Комплекс ўзгарувчининг функцияси, ҳақиқий ва мавқум қисмларини ажратиш, функциянинг лимити ва узлуксизлиги. Комплекс ўзгарувчили функциянинг ҳосиласи. Ҳосила модули ва аргументининг геометрик маъноси. Ҳақиқий ёки мавқум қисмига кўра аналитик функцияни тиклаш.
Асосий элементар функциялар. Чизиқли ва каср-чизиқли функциялар ёрдамида конформ акслантиришлар. Комплекс ўзгарувчили кўрсаткичли, тригонометрик, логарифмик функцияларнинг қийматларини, комплекс соннинг комплекс даражасини ҳисоблаш.
Комплекс ўзгарувчининг функциясини интеграли. Комплекс ўзгарувчили функциядан контур бўйича олинган интегрални аниқ интеграл ёрдамида ҳисоблаш. Ёпиқ контур бўйича олинган интегралларни ҳисоблаш.
Комплекс ҳадли даражали қаторларнинг яқинлашиш радиуси ва доирасини топиш. Аналитик функцияни Тейлор қаторига ёйиш. Аналитик функцияларнинг ноллари.
Лоран қаторининг яқинлашиш соҳасини топиш. Функцияларни Лоран қаторига ёйиш. Махсус нуқта. Махсус нуқталар классификацияси.
Чегирмалар. Чегирмаларни ҳисоблаш. Чегирмалар ёрдамида баъзи интегралларни (аниқ интеграл, хосмас интеграллар) ҳисоблаш.
Эквивалент тўпламлар. Қувватларни таққослаш. Саноқли ва континуум қувватли тўпламлар. Тўғри чизиқдаги нуқталар тўплами. Лимит нуқталар. Очиқ ва ёпиқ тўпламлар. Мукаммал тўплам. Сонлар ўқидаги очиқ ва ёпиқ тўпламларнинг тузилиши. Кантор тўплами ва унинг хоссалари.
Монотон функциянинг узулиш нуқталари. Ўзгариши чегараланган функциялар ва уларнинг хоссалари.
Узлуксиз чизиқ тушунчаси. Жордан, Пеано чизиқлари. Кантор ва Урисон чизиқлари. Тўғриланувчи чизиқлар.
Тўпламнинг Жордан ўлчови, унинг хоссалари. Чизиқли тўпламлар учун Лебег ўлчови. Ўлчовли тўпламлар ҳақидаги теоремалар. Лебег маъносида ўлчовли функцияларга доир мисоллар.
Стильтес интегралига доир мисоллар. Лебег интегралига доир мисоллар.
Метрик фазолар. Асосий тушунчалар. Мисоллар. Метрик фазоларда яқинлашиш. Тўла метрик фазолар. Ёпиқ шарлар ҳақидаги теорема. Қисқартиб акслантириш принципи. Қисқартиб акслантириш принципининг алгебра ва анализдаги татбиқлари.
Сепарабеллик тушунчаси. Rⁿ, C[a,b], l₁, l₂ фазоларнинг сепарабеллиги. Сепарабел бўлмаган фазога мисол. Компактлик критерийси. Rⁿ, C[a,b], l₁, l₂ фазоларда тўпламларнинг компактлиги.
Чизиқли фазолар. Нормаланган ва банах фазолари. Чизиқли функционаллар. Чизиқли функционалларнинг узлуксизлиги, хоссалари. Чизиқли функционалларнинг кучли ва суст яқинлашишлари. Чизиқли операторлар. Чизиқли операторларнинг узлуксизлиги, хоссалари.
Функционал анализнинг вариацион ҳисобдаги татбиқлари. Чизиқли функционалнинг дифференциали. Дифференциалланувчи функционалнинг экстремуми. Эйлер тенгламаси. Брахистохрон масаласининг ечими. Энг кичик айланма сирт ҳақидаги масала.