Множества N,Z,Q,R

Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.

Число А является пределом функции f(x) в точке а тогда и только тогда, когда f(x)=А+α(х), где α(х) есть бесконечно малая функция в точке а.

42. 
    Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
    

Предел суммы, произведения, частного двух функций есть (если эти пределы существуют), соответственно, сумма, произведение, частное пределов этих функций.
Д ок-во: Пусть lim_x→af(x)=A, lim_x→ag(x)=B, что в силу теоремы означает, что f(x) = A+α(x); g(x) = B+β(x), где и β(x) есть бесконечно малые функции в точке а. Поэтому
f (x)+g(x)=A+α(x)+B+β(x)=A+B+ [α(x)+ β(x)], --беск.малая,
f(x)g(x) = (A+ α(x))( B+β(x))=AB+[Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)],---беск.малая
f(x)/g(x)= A+ α(x)/B+β(x)=A/B+[1/Bg(x)*(Bα(x)-Aβ(x)].
В силу теоремы, осталось проверить, что выражения в квадратных скобках – бесконечно малые в точке а. Первое из этих выражений есть бесконечно малая как сумма бесконечно малых; второе – как сумма произведений бесконечно малых функций на локально ограниченные функции.
Доказательство того, что и последнее выражение в квадратных скобках есть в точке а бесконечно малая функция требует более тонких рассуждений. Во –первых, сложить дроби и убедиться самим, что левая часть последнего равенства действительно равна правой. Во-вторых, надо вспомнить, что равенство lim_x→af(x)/g(x)=A/B доказывается при дополнительном предположении В≠0. Предположим, например, что В>0 и пусть В>q>0. В силу свойства сохранения знака предела, найдётся σ>0, такое, что g(x)>q, если 0<|х-а|<σ. Но тогда |1/Bg(x)|<1/|B|q, если 0<|x-a|<σ, т.е. 1/Bg(x) есть локально ограниченная в точке а функция. Наконец, осталось заметить, что (Bα(x)-Aβ(x)) есть бесконечно малая как сумма произведений ограниченных величин на бесконечно малые, и это же верно для произведения 1/Bg(x)*(Bα(x)-Aβ(x)) локально ограниченной функции на бесконечно малую.

43.