Множества N,Z,Q,R

Непрерывность функции в точке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке Х₀, если точка Х₀ принадлежит области определения функции f(x), x₀єD(f), и lim_x→x0f(x)=f(x0), т.е. предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке. Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точке х0, если значение функции в точке х0 совпадает с её естественным значением в этой точке.

49. 
    Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке.
    

Функция f(x) непрерывны в точке х₀ тогда и только тогда, когда lim_∆x→0∆f=0, т.е. lim_∆x→0[f(x₀+∆x)-f(x₀)]=0.
В самом деле, если положить ∆x=х-х₀, то равенства lim_x→x0f(x)=f(x₀) можно переписать в виде равенства lim_∆x→0f(x₀+∆x) = f(x₀), которое равносильно равенству lim_∆x→0[f(x₀+∆x)-f(x₀)]=0.

50. 
    Односторонняя непрерывность.
    

Если в D(f)1 непрерывности предел заменить односторонним пределом, то получим определение односторонней непрерывности ф-ии.
Ф-ия называется непрерывной в точке х0 справа, если правосторонний предел совпадает со значением ф-ии.
Ф-ия называется непрерывной в точке х0 слева, есди левосторонний предел совпадает со значением ф-ии.
Для непрерывности в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в этой точке.

51. 
    Непрерывность функции на промежутке.
    

Ф-ция f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она определена на этом отрезке, непрерывна в каждой точке внутри этого отрезка, а односторонние пределы функции f(x) на концах отрезка существуют и совпадают с значениями функции на концах отрезка, lim_x→a+0f(x)=f(a), lim_x→b+0f(x)=f(b).

52.