Множества N,Z,Q,R

Т. Вейерштрасса об ограниченности. Ф-ция f(x), непрерывная на отрезке [a,b], ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число М, что |f(x)|≤M для всех xє[a,b].

Т.Вейерштрасса о существовании наибольшего и наименьшего значений. Функция f(x), непрерывная на отрезке [a,b], достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке, т.е. на отрезке [a,b] найдутся точки x1, x2 є [a,b], такие, что f(x1)≤f(x)≤f(x2) для всех хє[a,b].

Теорема о промежуточных значениях (Больоцано-Коши). Ф-ция f(x), непрерывная на отрезке [a,b], и принимающая значения А=f(x1), B=f(x2), где, например, А≤В, принимает и все промежуточные значения С, А≤С≤В, т.е. для каждого такого С найдётся точка с между х1 и х2, такая, что f(c)=C.

Теорема о существовании нуля. Если ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значениях разных знаков, то на отрезке [a,b] найдётся точка сє[a,b], такая, что f(c)=0. y

Г еом. Иллюстрация: т.Вейерштр. т-ы о промеж.значен.
У y=f(x)
М
b=x1 а с с b x
-M а х2 х

56. 
    Определение производной.
    

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел при х→х0 отношения приращения этой функции в точке х0 к приращению аргумента; обозначение для производной f’(x0) или df\dx*(х0). Таким образом, если обозначить ∆х=х-х0, то f’(x0)=lim_x→x0f(x)-f(x0)/x-x0=lim_∆x→0f(x0+∆x)-f(x0)\∆x.

57. 
    Механический смысл производной.
    

Если значения функции х=f(t) рассматривать как координату в момент времени t точки, движущейся по оси Ох, то производная f’(t0) есть скорость движения этой точки в момент времени t0. Вообще, производная f’(x0) функции f(x) в точке х0 есть скорость изменения функции f(x) в этой точке.

58.