Множества N,Z,Q,R

Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.

Если функция f(x) дифференцируема в точке х0, то функция f(x) непрерывна в точке х0.
Док-во: Если ф-ция f(x) дифференцируема в точке х0, то ∆f= f(x0+∆x) - f(x0)= k∆x+α(∆x)*∆x, где lim_∆x→0α(∆x)=0, и потому [k∆x+α(∆x)∆x]→0 при ∆х→0, откуда lim_∆x→0[f(x0+∆x)-f(x0)]=0, что доказывает непрерывность функции f(x) в точке x0.

61. 
    Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.
    

Простейшим примером такой непрерывной ф-ции является функция f(x)=|x| в точке 0.

62. 
    Односторонние производные.
    

Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х₀ называется правое (левое) значение предела отношения  при условии, что это отношение существует.
 
Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х₀, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х₀, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х₀, она может быть в ней не дифференцируема.

63. 
    Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
    

Касательной к кривой L в точке АєL этой кривой называется предел секущих {A,M} в точке А, когда точка М кривой L стремится к точке А.
Нормаль к кривой - прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой (касательной плоскости) в этой точке.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0,f(x0)) этого графика выглядит таким образом Y-f(x0)=f’(x0)(X-x0).
Нормалью к графику функции y = f (x) в точке A (x₀; y₀) называется прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная касательной к этой точке. Она задается уравнением

что следует из свойства угловых коэффициентов перпендикулярных друг другу прямых.

64.