Множества N,Z,Q,R

Таблица производных основных элементарных функций.

Const’=0 (tgx)’=1\cos²x
(x^a)’=ax^a-1 (ctgx)’=-1\sin²x
(a^x)’=a^xlna (arcsinx)’ =1\√1-x²
(e^x)’=e^x (arccosx)’=-1\√1-x²
(lnx)’=1\x (arctgx)’ = 1\1+x²
(ln_ax)’=1\xln a (arcctgx)’=-1\1+x²
(sinx)’=cosx
(cosx)’=-sinx

69. 
    Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
    

Геометрическое место точек на плоскости

будем называть графиком функции, заданной параметрически.
Параметрическим заданием функции y=f(x) называется пара функций x=ф(t), y=Ψ(t) с общей областью определения Е, такая, что равенство y=f(x) равносильно равенствам Ψ(t)=f(ф(t)) для всех хєD(f) и всех tєE.
Для нахождения производной параметрически заданной функции y=f(x), где х=ф(t), y=Ψ(t), в случае дифференцируемых функций f,ф,Ψ достаточно продифференцировать по t равенство Ψ(t) = f(ф(t)); тогда, по правилу дифференцирования сложной функции, Ψ’(t)=f’(ф(t))ф’(t), откуда f’(ф(t))=Ψ’(t)\ф’(t) или просто y’_x=y’(t)\x’(t) – правило нахождения производной параметрически заданной функции в точке x(t).

70. 
    Неявная функция и её дифференцирование.
    

Неявные функции, функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних. Функции y = f(x), , заданной уравнением F(x,y) = z₀, и значение фиксированно.
При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением : , .

71.