Множества N,Z,Q,R

Предел функции при х→±∞.

Пусть ф-ция f(x) определена при |х|>b, где b некоторое положительное число. Число А называется пределом ф-ции f(x) при x, стремящемся к ∞, если для любого ε>0 существует N=N(ε)>0, такое, что |f(x)-A|<ε, для всех х, удовлетворяющих неравенству |x|>N. Обозначение lim_x→∞f(x) = A. В частности, если неравенство |f(x)-A|<ε выполняется только для x>N (или только для х<-N), то пишут lim_x→∞f(x) = A (соответственно, lim_x→-∞f(x) = A).

37. 
    Второй замечательный предел. Следствия.
    

Докажем вначале теорему для случая последовательности
По формуле бинома Ньютона:
Полагая , получим:

(1)
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывет, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом

(2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

.
Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
.
Поэтому (3).
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для любого x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n = [x] - это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.
Из двух этих случаев вытекает, что для любого x.