Неравенство Чебышева

2.7. Предельные теоремы

В этом параграфе нас будет интересовать закон распределения и некоторые связанные с ним числовые характеристики суммы случайных величин при условии, что распределение и числовые характеристики слагаемых известны, а их число неограниченно возрастает.

Неравенство Чебышева. Для произвольной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией для любого справедливо неравенство:


(2.75)

Приведём доказательство для непрерывной случайной величины.

Здесь мы разбили интервал интегрирования на три, в первом и третьем слагаемых заменили на меньшее и отбросили второе слагаемое, в результате чего и получили неравенство, так как сумма при этом может только уменьшиться. Но выражение, стоящее в правой части в скобках, равно вероятности попадания случайной величины в интервалы , то есть вероятности выполнения неравенства . Отсюда Деля на , получаем (2.75).
Из неравенства Чебышева следует: чем меньше дисперсия, тем меньше вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания более чем на .


Теорема Чебышева. Пусть – последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной. Тогда вероятность отклонения среднего арифметического системы случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий по модулю меньше, чем на стремится к единице при неограниченном увеличении .
где (2.76)
Найдём случайную величину – среднее арифметическое и найдём её числовые характеристики:



Здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин и тем, что дисперсии всех слагаемых ограничены одной константой . Применим теперь к неравенство Чебышева:

или

Переходя в этом неравенстве к пределу при и учитывая ограниченность , получаем:

Но вероятность не может быть больше единицы, поэтому

Что и требовалось доказать. В этом случае говорят, что среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий слагаемых.