Неравенство Чебышева

Следствия.
1. Обычно, при определении численного значения некоторой величины приводится несколько измерений и в качестве искомого значения принимается их среднее арифметическое. Действительно, результат каждого измерения можно рассматривать как случайные величины . Если результаты измерений независимы, имеют одно и то же математическое ожидание и их дисперсии ограничены одной и той же константой (что на практике обычно выполняется), то согласно теореме Чебышева, среднее арифметическое сходится по вероятности к истинному значению измеряемой величины.
2. Теорема Бернулли. Эта теорема устанавливает связь между относительной частотой события и его вероятностью . Пусть производится независимых однородных испытаний (схема Бернулли), в каждом из которых событие может появиться с вероятностью . Введём в рассмотрение случайные величины – индикаторы испытаний. Напомним, что принимает только два значения: 1, если в i-том испытании событие наступило, и 0 в противоположном случае. Ранее были найдены и . Система случайных событий удовлетворяет условиям теоремы Чебышева и поэтому

Остаётся отметить, что сумма равна числу появлений события при испытаниях, а значит является относительной частотой, которую ранее обозначали .
Таким образом, при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события сходится по вероятности к – вероятности его появления при одном испытании. Это утверждение и является теоремой Бернулли.


Центральная предельная теорема. Снова рассмотрим последовательность случайных величин и найдём закон распределения суммы этих случайных величин при неограниченном возрастании . Оказывается, что закон распределения такой суммы при весьма общих условиях близок к нормальному. Этот факт определяет особое значение нормального распределения в теории вероятностей и имеет огромное прикладное значение. Соответствующее утверждение называется центральной предельной теоремой. Её строгое доказательство при достаточно общих предположениях впервые было дано русским математиком А.М.Ляпуновым. Приведём без доказательства формулировку этой теоремы.
Теорема Ляпунова. Пусть – последовательность независимых случайных величин и существуют конечные соотношения:



Если

и то
(2.77)

Отсюда следует, что случайная величина распределена асимптотически нормально с параметрами и .

Смысл условий теоремы Ляпунова заключается в том, что вклад любого слагаемого в образование всей суммы равномерно мал.