Множества N,Z,Q,R

Кратность корня. Простые и кратные корни

Кратностью корня α многочлена P(x) называется число вхождений линейного множителя (х- α) в разложении этого многочлена на линейные множители.
Корни кратности 1 обычно называются простыми корнями многочлена. Кратный корень многочлена f (x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +... + a_n, число с такое, что f (x) делится без остатка на вторую или более высокую степень двучлена (х — с). При этом с называют корнем кратности, если f (x) делится на (х—с) ^k, но не делится на (х—c) ^k+1. Корень многочлена f (x) кратности k является также корнем производных этого многочлена до (k — 1)-го порядка включительно, т. е. многочленов f’(x), f''(x),..., f ^(k-1)(x). К. к. многочлена f (x) называется К. к. уравнения f (x) = 0.

24. 
    Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.
    

Если комплексное число w=a+bi есть корень многочлена P(x) с действительными коэффициентами, то комплексно сопряжённое число w^--=a-bi так же является корнем этого многочлена.
Многочлен с действительными коэффициентами допускает разложение на линейные и квадратичные множители, причём линейные множители соответствуют вещественным корням многочлена, а квадратичные – комплексным корням многочлена. Если многочлен P(x) имеет степень n, { α_1, α₂,… α_k} – действительные корни этого многочлена, то разложение имеет вид
P(x)=a₀(x- α₁)(x- α₂)…(x- α_k)(x²+p₁x+q₁)( x²+p₂x+q₂)…( x²+p_sx+q_s), где k+2s=n.
Практическое нахождение разложения многочлена требует знания корней этого многочлена. К сожалению, не существует общих формул для нахождения корней многочлена по его коэффициентам, и, По-существу, единственной известной студентам общей формулой является школьная формула для нахождения корней квадратного уравнения. Поэтому корни иногда приходится угадывать, после чего делить многочлен на соответствующую разность x- α затем разбираться с многочленом меньшей степени.

25.