Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Реферат на тему:

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

План:

Введение

• 
  1 Однородное уравнение
  
  • 
    1.1 Уравнение порядка n
    
  • 
    1.2 Уравнение второго порядка
    
• 
  2 Неоднородное уравнение
  
  • 
    2.1 Вид общего решения неоднородного уравнения
    
  • 
    2.2 Принцип суперпозиции
    
  • 
    2.3 Частный случай: квазимногочлен
    
• 
  3 Уравнение Коши — Эйлера
  

Введение

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

где

• 
  y = y(t) — искомая функция,
  
• 
  y^(k) = y^(k)(t) — её k-тая производная,
  
• 
  — фиксированные числа,
  
• 
  f(t) — заданая функция (когда , имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).
  

1. Однородное уравнение

1.1. Уравнение порядка n

Однородное уравнение:

интегрируется следующим образом:
Пусть — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

кратностей , соответственно, .
Тогда функции

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.
Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.
Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.