Разложение многочлена на множители

Разложение многочлена на множители.

Раскладывать многочлены на множители приходится при упрощении выражений (чтобы можно было провести сокращение), при решении уравнений или при разложении дробно рациональной функции на простейшие дроби.

Имеет смысл говорить о разложении многочлена на множители, если его степень не ниже второй.
Многочлен первой степени называют линейным.
Рассмотрим сначала теоретические основы, затем перейдем непосредственно к способам разложения многочлена на множители.
Навигация по странице.
Необходимая теория.
Разложение на множители квадратного трехчлена.
Разложение на множители многочлена степени выше второй.
Вынесение за скобки общего множителя.
Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.
Искусственные приемы.
Способ группировки.
Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители.
Замена переменной при разложении на множители.

Необходимая теория.

Теорема.
Любой многочлен степени n вида  представляется произведением постоянного множителя при старшей степени  и n линейных множителей  , i=1, 2, …, n, то есть  , причем  , i=1, 2, …, n являются корнями многочлена.
Эта теорема сформулирована для комплексных корней  , i=1, 2, …, n и комплексных коэффициентов  , k=0, 1, 2, …, n. Она является основой для разложения любого многочлена на множители.
Если коэффициенты  , k=0, 1, 2, …, n – действительные числа, то комплексные корни многочлена ОБЯЗАТЕЛЬНО будут встречаться комплексно сопряженными парами.
К примеру, если корни  и  многочлена  являются комплексно сопряженными, а остальные корни действительные, то многочлен представится в виде  , где 
Замечание.
Среди корней многочлена могут быть повторяющиеся.
Доказательство теоремы проводится с использованием основной теоремы алгебры и следствия из теоремы Безу.
Основная теорема алгебры.
Всякий многочлен степени n имеет по крайней мере один корень (комплексный или действительный).
Теорема Безу.
При делении многочлена  на (x-s) получается остаток, равный значению многочлена в точке s, то есть  , где  есть многочлен степени n-1.
Следствие из теоремы Безу.
Если s – корень многочлена  , то  .
Это следствие будем достаточно часто употреблять при описании решения примеров.
К началу страницы
Разложение на множители квадратного трехчлена.

Квадратный трехчлен  раскладывается на два линейных множителя:  , где  и  являются корнями (комплексными или действительными).

Таким образом, разложение на множители квадратного трехчлена сводится к решению квадратного уравнения.
Пример.
Разложить квадратный трехчлен  на множители.
Решение.
Найдем корни квадратного уравнения  .
Дискриминант уравнения равен  , следовательно,

Таким образом,  .
Для проверки можно раскрыть скобки:  . При проверке пришли к исходному трехчлену, поэтому разложение выполнено верно.
Пример.
Разложить на множители квадратный трехчлен  .
Решение.
Соответствующее квадратное уравнение имеет вид  .
Найдем его корни.

Поэтому,  .
Пример.
Разложить многочлен на множители  .
Решение.
Найдем корни квадратного уравнения  .

Получили пару комплексно сопряженных корней.
Разложение многочлена будет именть вид  .
Пример.
Разложить на множители квадратный трехчлен  .
Решение.
Решим квадратное уравнение  .

Поэтому,

Замечание:
В дальнейшем, при отрицательном дискриминанте, мы будем оставлять многочлены второго порядка в исходном виде, то есть не будем раскладывать их на линейные множители с комплексными свободными членами.
К началу страницы
Способы разложения на множители многочлена степени выше второй.
В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.
В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень  и понижается степень многочлена на единицу делением на  . У полученного многочлена ищется корень  и процесс повторяется до полного разложения.
Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.
Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.
Вынесение за скобки общего множителя.
Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид  .
Очевидно, что корнем такого многочлена является  , то есть многочлен представим в виде  .
Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки.
Пример.
Разложить многочлен третьей степени  на множители.
Решение.
Очевидно, что  является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:

Найдем корни квадратного трехчлена 

Таким образом,

К началу страницы
Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.
Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида  , коэффициент при старшей степени равен единице.
В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.
Пример.
Разложить на множители выражение  .
Решение.
Проверим, имеются ли целые корни. Для этого выписываем делители числа -18:  . То есть, если многочлен имеет целые корни, то они находятся среди выписанных чисел. Последовательно проверим эти числа по схеме Горнера. Ее удобство еще и в том, что в итоге получим и коэффициенты разложения многочлена:

То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:

Осталось разложить квадратный трехчлен  .
Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.
Ответ:
.
Замечание:
вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.
Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида  , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.
В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.
Пример.
Разложить на множители выражение  .
Решение.
Выполнив замену переменной y=2x, перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4.

Если полученная функция  имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:

Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля.

То есть, y=-5 является корнем  , следовательно,  является корнем исходной функции. Проведем деление столбиком (уголком) многочлена  на двучлен  .

Таким образом,

Проверку оставшихся делителей продолжать нецелесообразно, так как проще разложить на множители полученный квадратный трехчлен 

Следовательно,

К началу страницы
Искусственные приемы при разложении многочлена на множители.
Далеко не всегда многочлены имеют рациональные корни. В этом случае при разложении на множители приходится искать специальные способы. Но, как бы нам не хотелось, некоторые многочлены (а точнее подавляющее большинство) так и не получится представить в виде произведения.
Способ группировки.
Иногда получается сгруппировать слагаемые многочлена, что позволяет найти общий множитель и вынести его за скобки.
Пример.
Разложить многочлен  на множители.
Решение.
Так как коэффициенты являются целыми числами, то могут быть целые корни среди делителей свободного члена. Проверим значения 1, -1, 2 и -2, вычислив значение многочлена в этих точках.

То есть, целых корней нет. Будем искать другой способ разложения.
Проведем группировку:

После группировки исходный многочлен представился в виде произведения двух квадратных трехчленов. Разложим их на множители.

Следовательно,

Замечание.
При всей видимой простоте группировки очень не просто выбрать слагаемые для ее проведения. Универсальных способов нет, так что экспериментируем и еще раз экспериментируем.
Пример.
Разложить на множители  .
Решение.
Целых корней многочлен не имеет (нужно проверить лишь делители числа 2).
Проведем группировку слагаемых:

Разложив на множители каждый из полученных квадратных трехчленов, придем к результату:

К началу страницы
Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители.
Иногда внешний вид многочлена наводит на мысль о способе его разложения на множители.
К примеру, после несложных преобразований коэффициенты выстраиваются в строчку из треугольника Паскаля, то есть, являются коэффициентами бинома Ньютона.
Пример.
Разложить многочлен  на множители.
Решение.
Преобразуем выражение к виду:

Последовательность коэффициентов суммы в скобках явно указывают, что это есть  .
Следовательно,  .
Теперь применим формулу разности квадратов:

Выражение во второй скобке действительный корней не имеет, а для многочлена из первой скобки еще раз применим формулу разности квадратов:

Пример.
Разложить на множители  .
Решение.
Преобразуем выражение:

Применим формулу сокращенного умножения разность кубов:

К началу страницы
Способ замены переменной при разложении многочлена на множители.
Часто замена переменной позволяет понизить степень многочлена и разложить его на множители.
Пример.
Разложить на множители  .
Решение.
Напрашивается замена  :

Корнями полученного квадратного трехчлена являются y=-2 и y=-3, поэтому,

Применяем формулу сокращенного умножения сумма кубов:

Так получили искомое разложение.
В большинстве случаев рассмотренные способы помогут Вам разложить многочлен на множители, если он вообще разложим.