Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

2.3. Частный случай: квазимногочлен

В случае, когда f(t) — квазимногочлен, то есть

f(t) = p(t)e^αtcos(βt) + q(t)e^αtsin(βt)

где — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

y₀(t) = (P(t)e^αtcos(βt) + Q(t)e^αtsin(βt))t^s

где

• 
  многочлены, , коэффициенты которых находятся подстановкой y₀(t) в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
  
• 
  s является кратностью комплексного числа w = α + iβ, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
  

В частности, когда

f(t) = p(t)e^αt

где p(t) — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

y₀(t) = P(t)e^αtt^s

Здесь P(t) — многочлен, deg(P) = deg(p), с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой y₀(t) в уравнение. s является кратностью α, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
Когда же

f(t) = p(t)

где p(t) — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

y₀(t) = P(t)t^s

Здесь P(t) — многочлен, deg(P) = deg(p), а s является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

3. Уравнение Коши — Эйлера

Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:

,

приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида (αx + β) = e^t.