Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

1.2. Уравнение второго порядка

Однородное уравнение второго порядка:

a₂y'' + a₁y' + a₀y = 0

интегрируется следующим образом:
Пусть λ₁,λ₂ — корни характеристического уравнения.

a₂λ² + a₁λ + a₀ = 0,

являющегося квадратным уравнением.
Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта :

• 
  при Δ > 0 уравнение имеет два различных вещественных корня
  

Общее решение имеет вид:

• 
  при Δ = 0 — два совпадающих вещественных корня
  

Общее решение имеет вид:

y(t) = c₁e^αt + c₂te^αt

• 
  при Δ < 0 существуют два комплексно сопряженных корня
  

Общее решение имеет вид:

y(t) = c₁e^αtcos(βt) + c₂e^αtsin(βt)

2. Неоднородное уравнение

Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).

2.1. Вид общего решения неоднородного уравнения

Если дано частное решение неоднородного уравнения y₀(t), и — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

где — произвольные постоянные.

2.2. Принцип суперпозиции

Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.
В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций

f(t) = f₁(t) + f₂(t),

частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций

y₀(t) = y₀₁(t) + y₀₂(t),

где являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями , соответственно.