Множества N,Z,Q,R

Последовательность, её геометрическое изображение.

Числовой последовательностью {x_n} называется множество чисел, занумерованное натуральными числами nЕN.
Числовая последовательность обычно задаётся 3-ся способами: 1) описательно (когда указывается происхождение элементов последовательности); 2) в виде явного списка {х1,x2,x3,…xn,…}; 3) в виде формулы, выражающий n-й член xn этой последовательности через n.

0 2 4 6 8 10
Числа интерпретируются как точки на числовой оси. Предел последовательность здесь – это точка а=6, к которой «сбегаются» точки последовательности.
5 Здесь элементы последовательности Xn
4 рассматриваются как значения некоторой ф-ции
3 f:N→R, определённой на множестве натуральных
2 чисел равенством f(n) = Xn, а точки на рисунке -
1 часть графика этой функции, соответствующая
-1 1 10 15 20 25 значениям n≤24. Предел последовательности а – это уровень «устья воронки», в которой содержатся точки, создающие геометрический образ последовательности {Xn}.

26. 
    Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.
    

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если найдётся такое число М, что |x_n|≤M для всех nЕN;
Последовательность {x_n} называется возрастающей, если из nnm.
Последовательность называется неубывающей(невозрастающей), если x_n+1≥x_n (x_n+1≤x_n) для всех nЕN.
Последовательность {x_n} называется убывающей, если из nn>x_m.
Последовательность {x_n} называется монотонной, если она или монотонно убывающая или монотонно возрастающая.

27. 
    Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
    

Число а называется пределом последовательности {Xn}, если для любого ε>0 найдётся такой номер n₀, что |x_n-a|<ε для всех n≥n₀.
Это записывается lim_n→∞Xn=a или, если ясно по какому из индексов рассматривается предел, limx_n=a.
Последовательность имеющая предел называется сходящейся.
Геом смысл: В любой окрестности числа а содержатся все элементы последовательности, за исключением их конечного числа.

28.