Множества N,Z,Q,R

Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0, такое, что |f(x)-A|<ε, для всех х, удовлетворяющих условию |х-а|<δ, х≠а. Обозначение lim_x→аff(x) = А. у
У=f(x)
А+ε
А
А-ε

А-δ а а+δ х

34. 
    Первый замечательный предел.
    

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:



(из : | LA | = tgx)
Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:



Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия

35. 
    Односторонние пределы.
    

Односторонний предел в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (или пределом справа).

36.