Множества N,Z,Q,R

Деление многочленов. Частное и остаток

Правило деления многочлена называется алгоритмом Евклида. Этот алгоритм состоит в следующем. Предположим степени многочлена P(x) равна n, степень многочлена Q(x) равна m, m≤n, и P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1+ …+ a_n , Q(x) = b₀x^m + b₁x^m-1 + …+ b_m.
Результат деления старших степеней этих многочленов есть a₀/b₀* x^n-m и, очевидно, разность многочленов P(x)- a₀/b₀* x^n-mQ(x) имеет степень меньшую, чем n, т.е. P(x) = c₀x^n-mQ(x)+P₁(x), где с₀= a₀/b₀ и многочлен P₁(x) имеет степень, меньшую степени многочлена Р(х). Аналогично, если m≤n-1, то многочлен P₁(x) можно представить в виде P₁(x)=с₁х^n-m-1Q(x) + P₂(x), где многочлен P₂(x) имеет степень, меньшую степени многочлена P₁, и т.д. Соединив эти действия, мы представим многочлен P(x) в виде P(x) = (c₀x^n-m+ c₁x^n-m-1 + … + c_n-m)Q(x) + Q₁(x), где степень многочлена Q₁(x) меньше степени многочлена Q(x). Многочлен Q₁(x) в этом случае называется остатком от деления многочлена P(x) на Q(x), а многочлен c₀x^n-m+ c₁x^n-m-1 + … + c_n-m – целой частью дроби P(x)/Q(x). На практике эти действия записываются уголком и поэтому алгоритм Евклида называется так «деление уголком».

22. 
    Теорема Безу и её следствие
    

Корнем многочлена P(x) называется число α, такое, что P(α) = 0.
Теорема: Число α является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда многочлен P(x) делится на (х- α) без остатка.
Док-во: Независимо от α, остаток от деления многочлена P(x) на (х- α) есть многочлен степени, меньшей чем степень многочлена (х- α), т.е. число, поэтому P(x)=(x- α)Q(x)+b, где b есть некоторое число, а Q(x) – многочлен, степень которого на 1 меньше степени многочлена P(x). Из этого равенства следует, что P(α) = b, откуда b=0, есть α является корнем многочлена, т.е. P(x) = (х- α)Q(x).
Обратно, если P(x) делится на (x- α) без остатка, то P(x) = (х- α)Q(x). Если положить в последнем равенстве х= α, то сразу получаем P(α)=0. Теорема доказана.
Следствие: Многочлен P(x) степени n с действительными или комплексными коэффициентами допускает разложение в произведение линейных множителей P(x)=a₀(x- α₁)(x- α₂)…(x- α_n), где { α₁, α₂, …, α_n} – корни многочлена P(x).
Док-во: По т. Безу, если α_{1 –} корень многочлена P(x), то P(x)=(x- α₁)Q₁(x). Аналогично, если α₂ – корень многочлена Q₁(x), то Q₁(x)=( x- α₂)Q₂(x) и P(x)=( x- α₁)( x- α₂) Q₂(x). Используя на основании т.Безу и далее такие же рассуждения для многочлена Q₂(x) и всех последующих многочленов Q₃(x), Q₄(x), …, Q_n(x), мы получим требуемое разложение на линейные множители.

23.