Множества N,Z,Q,R

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Последовательность предел которой стремиться к 0 - бесконечно малая.
Последовательность предел которой стремиться к бесконечности - бесконечно большая.

29. 
    Расходящиеся последовательности.
    

Последовательность (a_n) называется расходящейся, если она не имеет предела, то есть найдется такое положительное число , что для любого M найдется натуральное n > M для которого . Геометрически расходимость последовательности a₁, a₂, …, a_n, … означает, что для любого числа a найдется интервал , вне которого находится бесконечное число членов последовательности, то есть вне интервала найдутся члены последовательности со сколь угодно большими номерами.

30. 
    Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
    

Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (т.е. сходится).

31. 
    Число е. Натуральные логарифмы.
    

е = 2,7182818284…
Последовательность x_n=(1+1/n)ⁿ возрастающая и все её элементы ограничены числом 3. Поэтому по теореме Вейерштрасса эта последовательность сходится. Предел этой последовательности обозначается е, lim_n→∞(1+1/n)ⁿ=e – определение числа е.
Логарифмы по основанию е называются натуральными (и обозначаются ln x), а число е также основанием натуральных логарифмов.

32. 
    Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
    

Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .
Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому
,
причем - бесконечно малая последовательность (как сумма бесконечно малых).◄
Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .
Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому
.
Последовательности бесконечно малые как произведение бесконечно малой на ограниченную и произведение бесконечно малых последовательностей. Тогда бесконечно малая как сумма бесконечно малых..◄
Для доказательства теоремы о пределе частного нам понадобится следующее свойство сходящихся последовательностей.
Лемма. Пусть , причем . Тогда последовательность ограничена.
Док-во. Возьмем и найдем номер , после которого . Для всех номеров будет справедлива оценка
, ,
а значит, для этих номеров . Тогда для всех номеров будет справедливо
, что означает ограниченность последовательности .
Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем . Док-во. Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому

Последовательность , очевидно, бесконечно малая, а, следовательно, .

33.